三角函数证明题
我们都知道一元二次方程中根与系数的关系,
在一元高次方程中,同样存在着美妙的根与系数的关系。
由于时间关系,不多叙述。
在复数范围内,
方程z^7=1有7个不相等的复数根,
分别是cos2kπ/7+isin2kπ/7(k=0,1,2,3,4,5,6)
这7个根的和等于0,
即[cos0+cos2π/7+cos4π/7+cos6π/7+cos8π/7+cos10π/7+cos12π/7]
+i[sin0+sin2π/7+sin4π/7+sin6π/7+sin8π/7+sin10π/7+sin12π/7]
=0
根据复数相等的规定:
cos0+cos2π/7+cos4π/7+cos6π/7...全部
我们都知道一元二次方程中根与系数的关系,
在一元高次方程中,同样存在着美妙的根与系数的关系。
由于时间关系,不多叙述。
在复数范围内,
方程z^7=1有7个不相等的复数根,
分别是cos2kπ/7+isin2kπ/7(k=0,1,2,3,4,5,6)
这7个根的和等于0,
即[cos0+cos2π/7+cos4π/7+cos6π/7+cos8π/7+cos10π/7+cos12π/7]
+i[sin0+sin2π/7+sin4π/7+sin6π/7+sin8π/7+sin10π/7+sin12π/7]
=0
根据复数相等的规定:
cos0+cos2π/7+cos4π/7+cos6π/7+cos8π/7+cos10π/7+cos12π/7=0,
同时
sin0+sin2π/7+sin4π/7+sin6π/7+sin8π/7+sin10π/7+sin12π/7=0
在
cos0+cos2π/7+cos4π/7+cos6π/7+cos8π/7+cos10π/7+cos12π/7=0中
cos0=1,cos2π/7=cos12π/7,cos4π/7=cos10π/7,cos6π/7=cos8π/7
一代换,立即得出
cos2π/7 +cos4π/7 +cos6π/7 =-1/2
证明完毕
。收起
