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奇数阶反对称行列式等于0

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2021-03-11

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    证明:根据反对称矩阵的性质有:AT=-A;|A|=|AT|=|-A|=(-1)n|A|=-|A|;由于n为奇数;所以|A|=0。设A为n维方阵,若有A'=-A,则称矩阵A为反对称矩阵。
  对于反对称矩阵,它的主对角线上的元素全为零,而位于主对角线两侧对称的元反号。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。    或者说,在 n 维欧几里得空间中,行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
  反对称矩阵具有很多良好的性质,如若A为反对称矩阵,则A',λA均为反对称矩阵;若A,B均为反对称矩阵,则A±B也为反对称矩阵;设A为反对称矩阵,B为对称矩阵,则AB-BA为对称矩阵;奇数阶反对称矩阵的行列式必为0。
  

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