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数学与哲学有什么关系?

数学与哲学有什么关系?

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2007-06-29

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就像物理学,逻辑学,天体学,心理学等一样数学是哲学中所诞生的一门学科。 在古希腊毕达哥拉斯数形合的数本源论建立起了以数学方式的哲学思考为核心的理论体系,认为数学是一切的本源及结构方式。在这个基础上文艺复兴后机械论者们和精细科学支持者们逐步建立了近代数学体系。

2007-06-29

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    数学和哲学,中有相互渗透包容的地方,有些哲学,是可以通过数来解释。 数学影响哲学,更大一些。 数学的影响力越来越大,而哲学的影响力越来越小。 数学的领域在扩大。 哲学的地盘在缩小。
   哲学曾经把整个宇宙作为自己的研究对象。那时,它是包罗万象的,数学只不过是算术和几何而已。   17世纪,自然科学的大发展使哲学退出了一系列研究领域,哲学的中心问题从“世界是什么样的”变成“人怎样认识世界”。
  这个时候,数学扩大了自己的领域,它开始研究运动与变化。 今天,数学在向一切学科渗透,它的研究对象是一切抽象结构——所有可能的关系与形式。  可是西方现代哲学此时却把注意力限于意义的分析,把问题缩小到“人能说出些什么”。
   哲学应当是人类认识世界的先导,哲学关心的首先应当是科学的未知领域。 哲学家谈论原子在物理学家研究原子之前,哲学家谈论元素在化学家研究元素之前,哲学家谈论无限与连续性在数学家说明无限与连续性之前。
     一旦科学真真实实地研究哲学家所谈论过的对象时,哲学沉默了。它倾听科学的发现,准备提出新的问题。 哲学,在某种意义上是望远镜。当旅行者到达一个地方时,他不再用望远镜观察这个地方了,而是把它用于观察前方。
   数学则相反,它是最容易进入成熟的科学,获得了足够丰富事实的科学,能够提出规律性的假设的科学。  它好像是显微镜,只有把对象拿到手中,甚至切成薄片,经过处理,才能用显微镜观察它。
   哲学从一门学科退出,意味着这门学科的诞生。数学渗入一门学科,甚至控制一门学科,意味着这门学科达到成熟的阶段。 哲学的地盘缩小,数学的领域扩大,这是科学发展的结果,是人类智慧的胜利。
     但是,宇宙的奥秘无穷。向前看,望远镜的视野不受任何限制。新的学科将不断涌现,而在它们出现之前,哲学有许多事可做。面对着浩渺的宇宙,面对着人类的种种困难问题,哲学已经放弃的和数学已经占领的,都不过是沧海一粟。
   哲学在任何具体学科领域都无法与该学科一争高下,但是它可以从事任何具体学科无法完成的工作,它为学科的诞生准备条件。   数学在任何具体学科领域都有可能出色地工作,但是它离开具体学科之后无法作出贡献。
  它必须利用具体学科为它创造条件。 模糊的哲学与精确的数学——人类的望远镜与显微镜。 -------------------------------------------------------------------------------- 可以说成是相互促进,相辅相成的关系吧!因为二者兼具有很强的逻辑推理性,无论学好那一门都会对学好另一门百无害处,-具体 而言 数学是研究各种量的关系和空间结构的学科,哲学是系统化的世界观和方法论,而数学哲学则可以说成是数学观和数学方法论。
    它的研究对象是数学理论、数学发现和数学发展中体现的哲学问题,因此它可被划为哲学的一个分支。“数学是研究事物的量及其关系的具体规律,而数学哲学是研究数学发生、发展的一般规律,哲学则是研究自然、社会和思维的普遍规律。
  所以,哲学、数学哲学和数学三者之间的关系是普遍、一般和特殊的关系”,数学哲学“是在一般哲学思想指导下根据数学发展的规律和实际情况,揭示出存在于数学中的一般规律性和辩证法的特殊表现形式。  ”(林夏水《数学哲学》P15、P16) 林夏水把它的内容总体上分为三个部分:数学本体论、数学认识论和数学方法论。
   -------------------------------------------------------------------------------- 数学是具体科学之一。   哲学是系统的世界观和方法论。
   1哲学以具体科学为基础,例如马克思哲学诞生最主要的自然科学依据就是:达尔文的自然选择定律;能量转化和守恒定律:细胞学说。自然科学的发展促进哲学的发展。 2自然科学验证哲学的理论。例如爱因斯坦的相对论和马克思哲学的时间和空间理论是一致的。
     3哲学为自然科学的发展提供正确的世界观和方法论,如果一个科学家只承认必然性,否认偶然性,那就会在实验中错过很多以外的发现,例如有麻醉作用的笑气就是一次偶然机会发现的。
   4自然科学和哲学是个性与共性,特殊与一般的关系。自然科学研究的是某一方面的具体规律,数学也是。  因而是个性的是特殊的哲学(这里的提到的哲学都指马克思哲学)是以自然,思维和人类社会的发展规律为研究对象的,因而是共性的是一般的。
  

2007-06-29

536 0

    从数学谈到哲学 谈谈数学的基础   集合论是数学的基础,但是集合悖论的出现动摇了集合理论。罗素悖 论是其中最著名的一个。前两天与另外网友讨论悖论问题,有一些新的认 识。
  写出来与大家分享。不过好久不碰数学了,所用描述可能不太规范, 敬请谅解。  罗素悖论内容就不介绍了   一、这里我仅给出一种解决   我的观点是:所谓的罗素悖论在现实中不可能永远存在、或者无解、 或者根本就不是问题。
  当规则制定后或者在实践中会有这几种结果   1、认为规则不合理,修改了规则,将规则改为“理发师可以剃自己的 头发了”   2、规则没有限制理发师的生成,那么,理发师就可以带个学徒,结果 给理发师剃了头。
       3、理发师忍无可忍,但又坚持原则,可又没有新理发师生成,这时理 发师会干脆找一个不是理发师的人胡乱地剃   4、坚持原则但是不想新办法,于是理发师把头发留了起来,一辈子不 剃头。
     因此,罗素悖论结合实际来看根本就没有任何问题,如果说有问题即 理发师头发没有来剃,那么只能是这个原因:你坚持了规则,并且不愿意 修改规则,也不愿意通过其他办法来变通。  那么罗素悖论确实是无解的。
   但是这个问题所以无解,在于前提限制了结果,在罗素悖论规定的前提中 就包含了矛盾,结果只能是或者修改前提,或者变通,或者坚持前提永远 无解。无解不是什么问题,并非所有的问题都有解。
  x+y=6,有解吗?有无 数解,限定x=1,这个方程有解吗?有。  限定x=1,Y不能等于5有解吗?没 有。就是无解。事实上坚持规则并且不变通的罗素悖论确实就是无解的。
     二、数学的危机之一:没有时间   集合论里没有时间因素,只有元素,包含等基本概念,集合之间可以 有映射关系,但是没有时间概念。元素本身在集合论看来是不变的。  但是 集合论映射的客观世界是随时间变化的,这时集合论在描述客观世界时, 就会因为世界的变化性或自身的局限性而面临无法刻画的情形。
  用罗素悖 论来形象地表述就是在罗素悖论中规则是不可修改的,并且村子的元素即 理发师和其他村民的属性是不可变化的,村民不可变成理发师。  但是客观 世界实际上是发展变化的,村民变成理发师并不违背规则,但是罗素悖论 并没有设想到这种并不矛盾的通融情况。
  事实上任何规则都必须与客观互 动,WTO的规则、世界各国的法律、甚至报销制度都是不断反馈修改的。其 中的原因除了规则本身有漏洞外,另一个原因就是客观情况变化了。     解决集合论这个问题的办法有两个,一个是限制集合论的应用范围, 将集合论限制在比较静态和固定形式的范围内。
  另一个办法是将集合论加 入时间因素,认为集合本身、元素本身也是发展变化的。这后一个观点可 以看作是系统论的集合论。但是需要说明的是虽然有问题,但是不等于集 合论破产了,而是缺乏更广泛的实用性。
    这个关系类似于牛顿力学与相对 论的关系。如果在另外一个方向解决问题,其方法是在集合论中加入时间 因素,经典集合论加入时间因素,与牛顿力学加入光速不变理论类似。   因此结论是:如果集合论地、静止地、不变地看问题,罗素悖论在坚 持前提的条件下确实是无解的。
    但是加入时间因素后,规则、元素都是可 变的了,问题都解决了,如果从哲学角度看数学这种理论系统必须与客观 相互作用,而不可抽象到脱离客观的程度。否则在应用于客观的时候就会 产生悖论。
  事实上罗素悖论就是来自于客观的证伪。   如果再换一个角度来看,公理是不用证明的,或者是体系外证明的。   不证自明是并非是不需要客观证明而是不需要理论证明。任何理论都不能 用来解释自身的根据。
  所谓的自洽仅仅是内部圆通,而内部圆通未必能证 明前提正确。辩证逻辑与形式逻辑不同,形式逻辑是不变的,所以难免陷 入自相矛盾,而辩证逻辑把概念和前提都看作变动的,在运动中解决问题 。
    在此特别说明一点,集合论的这个问题,也是数学难以胜任社会领域的 主要原因。就社会而言其元素不是集合的而是系统的,元素是变化的,规 则是变化的,结构是变化的。   三、数学的抽象度   现在的数学理论抽象到了脱离客观的程度,数学家也以此为美。
    比如 集合的元素是没有结构的,没有层次的,类似于几何学中点的没有大小, 但是没有大小能有位值吗?客观世界中有没有大小的点吗?2到底是2。0还 是2。00还是2。
  000……呢?事实上在其他情况下的区别恰恰在于细微之中 ,当n趋于无穷大时,人类可以认为1/n可以忽略了,但是在1/(nxn)看来就 是无穷大。     数学中的无限集是可以无限外推的,但是应用于某个层次时不可无限 外推,比如地球上原子的数量虽然非常非常的多,但还是有限的。
  其道理 与牛顿力学不能无限外推一样。事实上万有引力也是不能外推的,从数学 的观点看计算万有引力的计算中,距离可以是0,那么任何质量的物质都可 以收缩成黑洞。  但是实际上不存在这个情况。
  而那个日取其半万世不竭的 道理也不成立,客观世界并非总是连续的,到了几万次之后就已经不是尺 子了。没法“取”了。鸡蛋谁先的道理也是一样,一般认为只有答案可能 是错误的,但是事实上前提也可以是错误的,问题本身也可以是错误的, 鸡蛋谁先的问题就错在形而上学,错在问题的本身。
    问题本身的存在前提 是若干年前鸡和蛋都是这样子。但是事实呢?他们都是进化过来的,原本 没有现在这样的鸡和蛋。   集合论不注意区分结构,比如元素与集合是不同层次的,这时就不能 并列讨论,可以分层讨论但不能并列讨论。
  比如“一个包含所有集合的集 合是否包含自身”就是缺乏层次观念的问题。     集合论是怎么来的呢?是对客观的映射和抽象。具备一定属性的对象 构成集合,集合根据属性构造,这些属性有共同的度量,但是“所有集合 ”这个说法本身包含了不同层次的集合,其度量属性不一致,如果度量属 性不一致,本身就无法构成集合。
  所以问题本身就是有问题的。  举例个例 子:人和狗可以统一在动物这个概念上,但是人和动物无法并列地统一在 某个概念上,人属于动物这个集合,是不同的层次。如果把人类看作一个 集合,把动物看作一个集合,那么并列包含人和动物这个集合的集合存在 吗?不存在。
     所以解决的办法就是指出问题的错误,即问题将不同层次的集合并列 了。  但是还有另外一个解决办法,就是按照系统论的观点改造集合论。即 使认为存在这样一个结合包含不同层次的集合,比如提出一个生物集,生 物这个集合包含动物和人,不过语言表达是不精确的,精确地表达是生物 包含动植物,动物包括人。
     我的观点是引入客观和具体,用系统论来改造集合论。  系统论的集合 论与经典集合论的区别在于系统是有结构和时间概念的   四、数学是形而上学,形而上学存在不足   事实上,我在强国写过关于哲学上绝对抽象的问题。
  而我在写这段文 字也想到了哲学和系统论。那怕是形而上学也不能脱离实证,因为数学的 抽象基础是客观存在,如果抽象的不完备,那么不完备性就会在应用于具 体问题时因自身的局限性出问题。  现在的数学问题就出在太形而上学并且 以纯为美了。
  但是罗素悖论的理发师案例恰恰就是从实证出发的证伪。   形而上学无法脱离形而下学,所谓最终归结为什么是一相情愿,正确 的办法是理论、实证、理论、实证。。。。没有实证的形而上学就是玄学,玄 学有没有意义呢?也有,意义在于范畴内自恰,但是能否与客观符合,必 须有客观参与。
    实际上这涉及到公理系统和基本定义的形成。公理系统和 基本定义是离不开客观世界的   五、抽象度的概念   具体科学、数学、哲学都对客观进行抽象,抽象的越细致刻画的越具 体,抽象的越宽泛刻画的越模糊,概念的内涵越多外延越小,哲学抽象的 物质概念只有客观存在一个属性,数学的集合论比系统论抽象的程度更高 ,以至于把时间、层次、元素间相互作用都抽象的丢失了。
    但是系统论的 抽象就更加丰富一些,有上面的内容。而其他的具体科学抽象的就更加详 细,属性更多。事实上抽象的根据是什么呢?恰恰是属性。   集合论由于抽象的程度高,丧失的具体属性就多,但是集合论还是有 意义的,系统论的具体意义就更加丰富。
  罗素悖论说明什么呢?说明这样 一个问题:集合论在对客观进行抽象的时候丢失了“层次的”“发展的” “时间”的属性,因此在需要描述“层次的”“发展的”“时间”的属性 时就出现了问题。     类似地在哲学上也有一种野心,哲学总是试图涵盖一切,事实上哲学 确实也能涵盖一切,但是这个涵盖是外延的涵盖,而不是内涵的涵盖,也 就是说,即使你掌握的哲学你也无法了解具体属性。
  就具体性而言,具体 科学涵盖的更加丰富。   从演绎推理看,大前提越大,越空洞,为了得出具体结论必须有小前 提,小前提就是具体科学的内容。  事实上小前提下还有小前提。
  如果在什 么地方小前提消失了,更加具体的结论也就消失了。因此可以看到认为哲 学高于具体科学的观点并不成立,认为哲学层次更高的观点也不成立。或 者这么看也可以,即认为哲学确实高于具体科学,但是高在抽象程度方面 ,而不是具体性方面。
       在理论体系如此,在理论与客观的关系方面也是如此,不能说理论一 定高于客观,理论的结论要通过客观验证是一方面,在另一方面理论的基 础也是客观。   因此,我认为建立一种根据抽象度来划分的理论体系是重要的。
  同时 如果能将抽象度这个概念纳入数学的基本概念也是重要的。     六、道,另一种哲学   前面五点均于数学和西方哲学有关,但是还有一种非分析的哲学概念 --道,道比物质的概念更加丰富,不仅有物质的意思还有规律的意思,按 照中国人的理解道无所不包,是浑然一体的,不仅外延大,而且内涵丰富 。
  道不可道,可道的不是道。  这是不同于西方的哲学。那么如何认识道呢 ?   可以这么看,道没有定义,而物质和规律都有定义。   于是可以认为物质和规律是客观的结果在理论中的表述,而道本身就 是客观,客观变化道就变化。
  也许正是这个原因导致了东西方的不同,西 方强调的认识论,强调在人看来客观是什么样子。  而中国人直接关注本身 ,直接关心不断变化的道。   最后一段已经与建立在分析基础上的现代科学没有关系了,但是仍然 体现了一种世界观,这是中国人自己的世界观。
   。

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