三角形恒等式证明三角形恒等式：t
证明三角形恒等式：tan(A/2)*tan(B/2)+tan(B/2)*tan(C/2)+tan(C/2)*tan(A/2)=1，并解释该恒等式的几何意义
证明 设I是△ABC内心，ID,IE,IF分别为I到边BC,CA,AB的距离，
则ID=IE=IF。 连AI,BI,CI。因为
S(BIC)=IB*IC*sin[(B+C)/2]/2=[IB*IC*cos(A/2)] (1)
S(BIC)=ID*BC/2=[IB*BC*sin(B/2)] (2)
由(1),(2)得:
IC/BC=sin(B/2)/cos(A/2) (3)
同理可得:
IC/CA=sin(A/2)/c...全部
证明三角形恒等式：tan(A/2)*tan(B/2)+tan(B/2)*tan(C/2)+tan(C/2)*tan(A/2)=1，并解释该恒等式的几何意义
证明 设I是△ABC内心，ID,IE,IF分别为I到边BC,CA,AB的距离，
则ID=IE=IF。
连AI,BI,CI。因为
S(BIC)=IB*IC*sin[(B+C)/2]/2=[IB*IC*cos(A/2)] (1)
S(BIC)=ID*BC/2=[IB*BC*sin(B/2)] (2)
由(1),(2)得:
IC/BC=sin(B/2)/cos(A/2) (3)
同理可得:
IC/CA=sin(A/2)/cos(B/2) (4)
由(3),(4)得:
IC^2/BC*CA=tan(A/2)*tan(B/2) (5)
因为
S(IDCE)=2S(IEC)=IE*CE=IC*sin(C/2)*IC*cos(C/2)
=[IC^2*sinC]/2
S(ABC)=(CA*AB*sinC)/2
所以
S(IDCE)/S(ABC)=IC^2/BC*CA=tan(A/2)*tan(B/2) (6)
同理可得:
S(IEAF)/S(ABC)=tan(B/2)*tan(C/2) (7)
S(IFBD)/S(ABC)=tan(C/2)*tan(A/2) (8)
(6)+(7)+(8)得:
tan(A/2)*tan(B/2)+tan(B/2)*tan(C/2)+tan(C/2)*tan(A/2)=1，
故上述恒等式的几何意义:三角形的面积等于其内心向三边作垂线段分成的三个小四边形的面积之和。
附上第二种证法：
设△ABC的三个旁切圆在边BC,CA,AB之切点分别为D,E,F，直线AD,BE,CF有公共点，此点即称为该三角形的Nagel点。
记BC=a，CA=b，AB=c。
设△ABC的Nagel点为N。易证得
ND/AD=(b+c-a)/(a+b+c);
NE/BE=(c+a-b)/(a+b+c);
NF/CF=(a+b-c)/(a+b+c)。
由正弦定理得:
b+c-a=2R(sinB+sinC-sinA)=8R*sin(B/2)*sin(C/2)*cos(A/2)
a+b+c=2R(sinB+sinC+sinA)=8R*cos(B/2)*cos(C/2)*cos(A/2)
故 ND/AD=tan(B/2)*tan(C/2)，即得
S(BNC)/S(ABC)=tan(B/2)*tan(C/2)。
同理可得:
S(CNA)/S(ABC)=tan(C/2)*tan(A/2)。
S(ANB)/S(ABC)=tan(A/2)*tan(B/2)。
因此S(ABC)=S(BNC)+S(CNA)+S(ANB)
即tan(A/2)*tan(B/2)+tan(B/2)*tan(C/2)+tan(C/2)*tan(A/2)=1。
所以恒等式的几何意义:三角形的面积等于其Nagel点与三顶点分成的三个小三角形的面积之和。
。收起
