求解：高一数学题解答以A（3，4
以A（3，4）为一个顶点，在X轴上找一点B，再在直线L：2X-Y+3=0上找一点C，构成三角形ABC，使其周长最小，并求最小值。
如图
作点A(3,4)关于直线l：2x-y+3=0的对称点A'，作A关于x轴的对称点A''，连接A'A''，与直线L的交点就是B，与x轴的交点就是C
此时，△ABC的周长最小
【证明：
因为A、A'关于直线L对称，那么直线L上的任意一点到A、A'的距离都相等
所以：BA=BA'
同理，A、A''关于x轴对称，那么x轴上任意一点到A、A''的距离也相等
所以，CA=CA''
那么，△ABC的周长=AB+BC+AC=A'B+BC+CA''=A'A''，即线段A'A'...全部
以A（3，4）为一个顶点，在X轴上找一点B，再在直线L：2X-Y+3=0上找一点C，构成三角形ABC，使其周长最小，并求最小值。
如图
作点A(3,4)关于直线l：2x-y+3=0的对称点A'，作A关于x轴的对称点A''，连接A'A''，与直线L的交点就是B，与x轴的交点就是C
此时，△ABC的周长最小
【证明：
因为A、A'关于直线L对称，那么直线L上的任意一点到A、A'的距离都相等
所以：BA=BA'
同理，A、A''关于x轴对称，那么x轴上任意一点到A、A''的距离也相等
所以，CA=CA''
那么，△ABC的周长=AB+BC+AC=A'B+BC+CA''=A'A''，即线段A'A''
在直线L上取异于点B的另外一点B'
则，同样有：B'A=B'A',CA=CA''
此时，△AB'C的周长=AB'+B'C+CA=A'B'+B'C+CA''＞A'C+CA''=A'A''
这是因为在△A'B'C中，两边之和大于第三边
所以，前面求的的△ABC的周长为最小。
同理，也可以在x轴上找到另外的点，也满足上述结论。】
已知点A(3,4)，设点A关于直线L的对称点A'(a,b)
那么：
①AA'连线与L垂直，所以斜率之积为-1
即，Kaa'=(b-4)/(a-3)，Kl=2
所以，[(b-4)/(a-3)]*2=-1……………………………………（1）
②A、A'中点((a+3)/2,(b+4)/2)在直线L上，所以：
2*[(a+3)/2]-[(b+4)/2]+3=0…………………………………（2）
联立(1)(2)解得：a=-1，b=6
所以，点A'(-1,6)
点A''与A(3,4)关于x轴对称，所以：点A''(3,-4)
设过A'(-1,6)和A''(3,-4)的直线为y=kx+b，则：
-k+b=6
3k+b=-4
解得：k=-5/2，b=7/2
所以，A'A''所在直线为：y=(-5/2)x+(7/2)，即：5x+2y=7
那么，点B就是上述直线与直线L:2x-y+3=0的交点。
则：
5x+2y=7
2x-y=-3
解得：x=1/9，y=29/9
即点B(1/9,29/9)
直线5x+2y=7与x轴的交点为C
则，点C(7/5,0)
此时，△ABC的周长就是线段A'A''的长度
所以，A'A''=√[(6+4)^2+(-1-3)^2]=2√29
综上：
当点B(1/9,29/9)，点C(7/5,0)时，△ABC的周长最小，最小值为2√29。
收起
