作业帮助>数学3.20.002
这类题要抓住第K项，把组合数的变化的系数，利用组合数的阶乘公式C（n,m）=n!/(k!)(n-m)!变成不变的系数。例如你的:
1。 第K项是(m+k)!/k!=m!{(m+k)!/m![(m+k)-m]!=m!C(m+k,m),∵ 有一个重要的组合数求和公式:C(m,m)+C(m+1,m)+…+C(m+n,m)=C(m+n+1,m+1)(和式特点:第一个组合数的上下标相同,其余组合数的上标不变,下标依次递加1,组合数和等于最后一个组合数的上下标各加1),而C(m+n+1,m+1)=(m+n+1)!/[(m+1)!k!],就不难证明了。
2。 第K项是[1/(k+1)]C(n,k),...全部
这类题要抓住第K项，把组合数的变化的系数，利用组合数的阶乘公式C（n,m）=n!/(k!)(n-m)!变成不变的系数。例如你的:
1。 第K项是(m+k)!/k!=m!{(m+k)!/m![(m+k)-m]!=m!C(m+k,m),∵ 有一个重要的组合数求和公式:C(m,m)+C(m+1,m)+…+C(m+n,m)=C(m+n+1,m+1)(和式特点:第一个组合数的上下标相同,其余组合数的上标不变,下标依次递加1,组合数和等于最后一个组合数的上下标各加1),而C(m+n+1,m+1)=(m+n+1)!/[(m+1)!k!],就不难证明了。
2。 第K项是[1/(k+1)]C(n,k),系数1/(k+1)随k而变, ∵ [1/(k+1)]C(n,k)=[1/(k+1)][n!/(k!)(n-k)!]=[n!/[(k+1)!(n-k)!]=[(1/(n+1)][(n+1)!]/[(k+1)!((n+1)-(k+1))!]=[(1/(n+1)]C(n+1,k+1),组合数C(n+1,k+1的系数1/(n+1)就不随k而变了。
3。 ∵ 第K项是k/(k+1)!=(1/k!)-[1/(k+1)!]。∴ 令k=1,2,3,…,n可得原式=1-1/[(n+1)!]
。收起
