蚂蚁与蜜蜂的几何学
设想有一种生活在二维面上的扁平蚂蚁，因为是二维生物，所以没有第三维感觉。如果蚂蚁生活在大平面上，就从实践中创立欧氏几何。如果它生活在一个球面上，就会创立一种三角和大于180度，圆周率小于3。14的球面几何学。但是，如果蚂蚁生活在一个很大的球面上，当它的"科学"还不够发达，活动范围还不够大，它不足以发现球面的弯曲，它生活的小块球面近似于平面，因此它将先创立欧氏几何学。当它的"科学技术"发展起来时，它会发现三角和大于180度，圆周率小于3。14等"实验事实"。如果蚂蚁够聪明，它会得到结论，它们的宇宙是一个弯曲的二维空间，当它把自己的"宇宙"测量遍了时，会得出结论，它们的宇宙是封闭的(绕一圈还会回到原地)，有限的，而且由于"空间"(曲面)的弯曲程度(曲率)处处相同，它们会将宇宙与自己的宇宙中的圆类比起来，认为宇宙是"圆形的"。由于没有第三维感觉，所以它无法想象，它们的宇宙是怎样弯曲成一个球的，更无法想象它们这个"无边无际"的宇宙是存在于一个三维平直空间中的有限面积的球面。它们很难回答"宇宙外面是什么"这类问题。因为，它们的宇宙是有限无边的封闭的二维空间，很难形成"外面"这一概念。
对于蚂蚁必须借助"发达的科技"才能发现的抽象的事实，一只蜜蜂却可以很容易凭直观形象的描述出来。因为蜜蜂是三维空间的生物，对于嵌在三维空间的二维曲面是"一目了然"的，也很容易形成球面的概念。蚂蚁凭借自己的"科学技术"得到了同样的结论，却很不形象，是严格数学化的。
由此可见，并不是只有高维空间的生物才能发现低维空间的情况，聪明的蚂蚁一样可以发现球面的弯曲，并最终建立起完善的球面几何学，其认识深度并不比蜜蜂差多少。
黎曼几何是一个庞大的几何公理体系，专门用于研究弯曲空间的各种性质。球面几何只是它极小的一个分支。它不仅可用于研究球面，椭圆面，双曲面等二维曲面，还可用于高维弯曲空间的研究。它是广义相对论最重要的数学工具。黎曼在建立黎曼几何时曾预言，真实的宇宙可能是弯曲的，物质的存在就是空间弯曲的原因。这实际上就是广义相对论的核心内容。只是当时黎曼没有像爱因斯坦那样丰富的物理学知识，因此无法建立广义相对论。
球面三角?W
球面三角?W研?球面三角形的各種各??缀瘟咳邕?長、角度、面積、外接?A和?惹?A的半?降鹊鹊南嗷リP?S。遠在古希臘?r代，球面三角?W即已倍加重?。Menelous 所著的 ``Sphaerica'' 和 Ptolemy 所著的 ``Almagest'' ?結了?年在球面三角?W上的研究成果和它??在天文?W上的?谩４篌w上，他??已?充分理解了直角球面三角形的各種?缀瘟恐g的相互關系；然後一直到十八世紀，球面三角?W的研究才又得以蓬勃開展。
在本?的??中，?⒁?, , 等等表示?挝磺蛎嫔辖o定點 A, B, C 等等的位置向量，亦即 , , 等等，它??...全部
球面三角?W
球面三角?W研?球面三角形的各種各??缀瘟咳邕?長、角度、面積、外接?A和?惹?A的半?降鹊鹊南嗷リP?S。遠在古希臘?r代，球面三角?W即已倍加重?。Menelous 所著的 ``Sphaerica'' 和 Ptolemy 所著的 ``Almagest'' ?結了?年在球面三角?W上的研究成果和它??在天文?W上的?谩４篌w上，他??已?充分理解了直角球面三角形的各種?缀瘟恐g的相互關系；然後一直到十八世紀，球面三角?W的研究才又得以蓬勃開展。
在本?的??中，?⒁?, , 等等表示?挝磺蛎嫔辖o定點 A, B, C 等等的位置向量，亦即 , , 等等，它???然都是?挝婚L的向量。由此可?，?南蛄?缀蔚挠^點?砜矗蛎?缀纹??也就是?挝婚L向量的?缀巍?
由向量運算的?缀?群从校?⒖?[?D 7-8] ）：
(i)
, , ；
(ii)
, , 的面積，亦即 |b x c|, |c x a|, |a x b|，分?e等于 , , ；
(iii)
球面三角形 的三???冉?A,B,C 等于 和 ， 和 ， 和 之間的?擅娼牵?
(iv)
設 ，以後?⒁?D 表示之。
由行列式的乘法公式即有：
[ ?D 7-8 ]
【定理 7。3】（球面三角正弦定律）：
証明：令 ?檫^球心 O 點而和 垂直的平面，b' 和 c' 是 , 在 上的垂直投影，亦即：
[ ?D 7-9 ]
其中 , 和 a 垂直而 和 ?t??a 的倍積，所以由?确e和 ×-積的分配律，得：
上述所作的垂直投影其??是把由 , , 所??的平行六面體沿 的方向滑?樱钺岬贸鲇?, , 所??的長方體，如下?D所示：
因?轶w積是斜移不?的，由此亦可以看到
由此易?
【定理 7。
4】（球面三角餘弦定律）：
証明：由面積的勾股定理，即有：
再者，由?确e ×-積的?缀我饬x，以及 A 等于 和 之間的?擅娼牵从校?
□
球面三角餘弦定律的另一証法：
□
【推? 1】：在 （亦即直角球面三角形）?r，?t有：
(i)
(ii)
[ ?D 7-11 ]
証明：由所設 即有 , 。
所以 (i)-式乃是正、餘弦定律的直接結?。再者，
所以
[其他三式的証明留作?題。]
半角公式：
在平面三角?W中，我??有下述易算好用的半角公式，即令 ，?t有：
在球面三角?W中，也有?似的半角公式，即：
【推? 2】（球面三角半角公式）：
証明：以 （或 ）代入餘弦定律，即得：
或
這也就証明了 (i) 和 (ii)，而 (iii) ?t是 (i), (ii) 的直接推?。
?証 (iv)-式如下：
如 [?D 7-12] 所示， 是直角球面三角形， , ，所以
[ ?D 7-12 ]
阿基米德定理以及它的局部化——球面三角形面積公式：
是球面?缀沃兄陵P重要的基本定理。
?募??缀蔚挠^點，上述面積公式已?是十分???完美的了；但是?南蛄看?档牟蛔?量理??砜矗???需要把三角形面積和 {a,b,c} 的基本正交不?量，亦即 之間整理出一?????、整體的關?S式。
?然，我??可以用球面三角餘弦定律，即
得出
所以這??用向量?确e的面積公式?然就可以??成：
但是這?右??繁複的表式顯然不好用，因此有必要去探?上述球面三角形面積的?确e表達式背後的精?形式。
這種精益求精的所得就是：
【定理 7。5】： , , 。
証明：由球面三角正弦、餘弦定律（亦即[定理 7。3]、[定理 7。4]）即有
等等直接代?Q和代?涤?算可得：
上式之分母??
而一??令人驚喜的事??是括??? 的代?当硎娇梢院?化成 。
所以即得：
同?拥拇?涤?算可得
所以
[註]：在直角球面三角形，即 ?r，尚有下述特殊公式，即：
【推? 1】：若?? 的?蛇? a, b 固定而?第三? c ??樱?
?t有
証明：由上所設，
?? ?τ?x 求微分，即
在這裡，有趣的是分子也含有 (1+c1)(1+c2) 因式。
約分後即得
再者，?⑾率鲳N弦定律
?τ?x 微分，即有
所以
[註]：? φ ??0 ?到 π， 的?化有下述三種情形，即：
(i)
若 ，?t c1+c2>0，而其?? c ?t??|a-b| ?到 a+b，函?抵? 由 0 增加到其在 x=c1+c2 ?r的唯一?O大值，然後再遞?p到 0。
[註]：x=c1+c2，即 的?缀我饬x乃是 的外接?A?A心位于 之上，如 [?D 7-13] 所示。其証明在??球面四?形?r便???說明。
[ ?D 7-13 ]
(ii)
若 ，?t c1+c2c3+c4 ），由?l件式
即
所以有
令其??λ，?t有
再由
即求得
注意: 在 c1+c2 = c3+c4 ?r，上述公式即??
所以上述由 表達 的公式是普遍成立的！
【例題 2】：設四?形的四???長依序取定??，令 φ ?? 的角度，?t其面積??φ 的函?担嗉?A(x), 。
由餘弦定律，即
??x 求微分，即得
再者，原先由[定理 8]的証明已得
所以
【?題】：
(1)
???球面上一??保長??Q的定點子集有那些可能性？?K舉例說明你所說的那種可能性是的確可能的。
(2)
設 是一??直角球面三角形， 。?証
(3)
設 S2(r) 是一??以 O ?榍蛐模???r 的球面。P 是球外一??給定點（如 [?D 7-16] 所示）：
[ ?D 7-16 ]
設 ?檫^ P 點而且交 S2(r) 于 Q1, Q2 的直?。
?証?a有
[提示：設 u 是直? 上的?挝婚L向量， , 而 X 是 上的?狱c，?t有 ，其中 k 是 的有向長度，而 的?l件式?t是 。]
(4)
設 PTi 是和 S2(r) 相切于 Ti 的那?l切?，i=1,2 。
?証 和 等長，?K描述所有過 P 點和 S2(r) 相切的切點所組成的點集。
(5)
令 P' 是位于直? OP 之上而且 的點，Π 是和 OP 正交于 P' 點的平面，令 。
?証 成調和點列，亦即
。收起
