线性代数题目求教！！！向量组a1
向量组a1,a2,a3线性无关，向量组a2,a3,a4线性相关，能否推出a1不能被a2,a3,a4线性表示？为什么？
解 a1不能由a2,a3,a4线性表示。
证明如下：
假设a1能被a2,a3,a4线性表示。
因为向量组a2,a3,a4线性相关，所以a2,a3,a4中至少有一个向量可以用其他两个向量线性表示，我们分情况讨论如下：
(i)若a4可以用a2,a3线性表示
则由假设得a1能被a2,a3线性表示，这与a1,a2,a3线性无关矛盾；
(ii)若a2可以用a3,a4线性表示,
则由假设得a1能被a3,a4线性表示，
即存在数x,y,u,v,使得
a2=x*a3+y*a4 (1...全部
向量组a1,a2,a3线性无关，向量组a2,a3,a4线性相关，能否推出a1不能被a2,a3,a4线性表示？为什么？
解 a1不能由a2,a3,a4线性表示。
证明如下：
假设a1能被a2,a3,a4线性表示。
因为向量组a2,a3,a4线性相关，所以a2,a3,a4中至少有一个向量可以用其他两个向量线性表示，我们分情况讨论如下：
(i)若a4可以用a2,a3线性表示
则由假设得a1能被a2,a3线性表示，这与a1,a2,a3线性无关矛盾；
(ii)若a2可以用a3,a4线性表示,
则由假设得a1能被a3,a4线性表示，
即存在数x,y,u,v,使得
a2=x*a3+y*a4 (1)
a1=u*a3+v*a4 (2)
(1)*v-(2)*y得
v*a2-y*a1=(xv-yu)*a3
即 y*a1-v*a2+(xv-yu)*a3=0
由于向量组a1,a2,a3线性无关，
故知 y=0,v=0,
由(1)知 a2=x*a3,
即a2与a3线性相关,从而a1,a2,a3线性相关，矛盾；
(iii)若a2可以用a2,a4线性表示,则仿(ii)可得矛盾。
因此,a1不能被a2,a3,a4线性表示。
。收起
