不等式基本公式
均值不等式
设a,b为正数,M=√[(a^2+b^2)/2] ,A=(a+b)/2,G=√ab,H=2ab/(a+b) 。
求证:M≥A≥G≥H。
证明 关于二元的幂平均,算术平均,几何平均和调和平均,用代数证明很简单,我曾给出两种几何证明,参见:
下面给出第三种几何证法。 供参考!
证明 设P是圆O外一点,连PO分别交圆O两点A与B,设PA=a,PB=b,a>b。过P作圆O的切线PC,C为切点,作CE⊥AB,交AB于E,作OD⊥AB,交圆O于D,[C与D在直径AB两侧] ,连PD。 令圆的半径为R。显然PA-PB=2R,OC=OD=OB=(a-b)/2。易知:
由PO=PB+BO ...全部
均值不等式
设a,b为正数,M=√[(a^2+b^2)/2] ,A=(a+b)/2,G=√ab,H=2ab/(a+b) 。
求证:M≥A≥G≥H。
证明 关于二元的幂平均,算术平均,几何平均和调和平均,用代数证明很简单,我曾给出两种几何证明,参见:
下面给出第三种几何证法。
供参考!
证明 设P是圆O外一点,连PO分别交圆O两点A与B,设PA=a,PB=b,a>b。过P作圆O的切线PC,C为切点,作CE⊥AB,交AB于E,作OD⊥AB,交圆O于D,[C与D在直径AB两侧] ,连PD。
令圆的半径为R。显然PA-PB=2R,OC=OD=OB=(a-b)/2。易知:
由PO=PB+BO PO=(a+b)/2;
由PC^2=PA*PB PC=√ab;
由PE*PO=PC^2 PE=2ab/(a+b);
PD^=PO^2+OB^2 PD=√[(a^2+b^2)/2]
显然可直观地知:PD>PO>PC>PE。
当圆O的半径(a-b)/2无穷小时,即A与B重合,也即a=b时,取等
设a,b是两个正数,M2=√[(a^2+b^2)/2],A=(a+b)/2,G=√(ab),H=2/(1/a+1/b)分别表示a,b两元的二次幂平均,算术平均,几何平均和调和平均,证明: M2≥A≥G≥H。
证明(一) 在梯形ABCD中,AB∥CD,记AB=b,CD=a。EiFi(i=1,2,3,4)是平行于梯形ABCD的底边且被梯形两腰所截的线段。
如果E1F1分梯形为等积的两部分,那么
E1F1=√[(a^2+b^2)/2]。
如果E2F2分梯形的中位线,那么
E2F2=(a+b)/2。
如果E3F3分梯形为两相似图形,那么
E3F3=√(ab)。
如果E4F4通过梯形两对角线交点的线段,那么
E4F4=2/(1/a+1/b)。
从图中直观地证明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4,当a=b时取等号。
证法(二) 在直线X上取CD=a,DE=b,设a≥b,以CD,DE为边,在直线X同侧作正方形DABC和正方形DGFE,显然G在线段DA上。
正方形DABC的对角线BD与AC交于P,正方形DGFE的对角线DF与EG交于Q,连PQ。过P作PP’⊥CD交CD于P’ ,过Q作QQ’⊥DE交DE于Q’ 。显然P’ 是CD的中点,Q’ 是DE的中点,
取CE的中点O,以O为圆心,直径为CE画圆,交DA于K。
连BF交DA于I。
下面来求M2=PQ,A=P’Q’ =KO,G=KD,H=DI。
因为CD=a,DE=b,则DP=a√(1/2), DQ=b√(1/2) 。
在Rt△PDQ中, 由勾股定理求得:PQ=√[(a^2+b^2)/2]
而P’Q’=DP’+DQ’=(CD+DE)/2=(a+b)/2。
在Rt△CKE中,KD^2=CD*DE=ab, KD=√ab。
在Rt△BDF中,DI是∠BDF的角平分线,ID*BD*sin45°+ID*DF*sin45°=BD*DF
ID*(a+b)=2ab ID=2ab/(a+b)。
在直角梯形QQ’P’P中,显然直角腰P’Qp不大于另一腰PQ,即M2≥A。
在Rt△KDO中,显然斜边KO不小于直角边DK,,即A≥G。
在直角梯形FECB中,因为CE=EF+BC,所以以CE为半径直角腰中点O为圆心的圆的必与另一腰交于两点,故DI不大于DK,即G≥H。
实际上从作图中可看出:PQ≥P’Q’=OK≥DK≥DI。
。收起