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求PQ线段中点的轨迹方程。

过抛物线y2=4x的焦点,做直线与抛物线相交于P、Q两点,求PQ线段中点的轨迹方程。

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2006-06-18

0 0

  设P(X1,Y1) Q(X2,Y2) 中点M(X,Y) 代入方程,点差法得: (Y1-Y2)(Y1+Y2)=4(X1-X2) 因为 (Y1-Y2)/(X1-X2) = 此直线的斜率 又因为此直线过焦点(1,0) 及 中点 M[(X1+X2)/2 ,(Y1+Y2)/2] 所以又有 (Y1-Y2)/(X1-X2) = (Y-0)/(X-1) 所以得到M轨迹方程是 :Y^2=2(X-1)。
  

2006-06-18

77 0

    抛物线y2=4x(1)的焦点为F(1,0),设直线斜率为k,则直线方程为 y=k(x-1)(2)由(1)x=y^2/4代入(2)得y=k(y^2/4-1) 化简得ky^2-4y-4k=0,两根y1,y2满足(y1+y2)=4/2k=2/k 设PQ线段中点(x′,y′)则y′=(y1+y2)/2=1/k(*) PQ在(2)上1/k=k(x′-1),得x′-1=1/k^2(**) 即 y′=1/k x′-1=(1/k)^2 故得(y′)^2=x′-1为所求轨迹方程 可简写为y^2=x-1,轨迹为抛物线。
    。

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