帮帮我！！！！！

一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理。帮帮我！！！！！谢谢！！！！！说明过程！！！！！

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2006-06-05

0 0

    对于每一个n边形，它有n个顶点，从每一个顶点出发有（n-3）条对角线（在n个点中，这个点和它这个点本身没有对角线，和它相邻的2个点也没有对角线，所以有n-3条），因此应该有n（n-3）条，但是例如对角线MN和NM是同一条对角线，算了两次，所以n边形的对角线有n（n-3）/2条。
     一个凸多边形共有20条对角线，设它是x边形，则 x（x-3）/2=20 x=-5（舍）或x=8 所以它是八边形。存在有18条对角线的多边形，设它是x边形，则 x（x-3）/2=18 x^2-3x-36=0 x=(3±√17)/2（舍）所以不存在有18条对角线的多边形。
     。

提交

y***

2006-06-05

310 0

  任意的凸n边形的对角线的条数:An=n(n-3)/2。解:依题意,设此多边形是n边形,则有 n(n-3)/2=20 --->n^2-3n-40=0 --->(n-8)(n+5)=0 --->n=8,舍去n=-5。

  所以8边形有20条对角线。同样:n(n-3)/2=18 --->n^2-3n-36=0 --->n=(3+'-√155)/2。显然方程的二根都是无理数,不合题意。因此不存在18条对角线的多边形。

提交

k***

2006-06-05

313 0

这是组合题。首先N个点之间的连线（没有重合的情况）总数是C(N,2)=N（N－1）/2。对于N边形， N个点之间的连线总数＝对角线数＋N ＝ C（N，2）＝N（N－1）/2 也就是 N×N－3N－40＝0 所以，N＝8 ， N＝－5（舍弃） N×N－3N－36＝0 没有整数解，所以不存在18条对角线的多边形。
。

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