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两点间的球面距离

为什么两点间的球面距离指的是过两点的大圆在两点间的劣弧长度呢

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2006-04-18

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    因为两点间点的轨迹是沿球面的弧线。具体分析如下(教学课件截选): 《球面距离》的教学设计 □ 陈满芝 六、 教学过程的设计 1.问题情境,引入课题 1993年4月7日,中国东方航空公司的航班喷气客机从上海飞往美国洛杉矶,因受到强气流的影响,被迫在美国阿拉斯加阿留申群岛的某空军基地紧急降落。
    经过紧急处理,除60名伤员仍留在阿拉斯加的安克雷奇医院中之外,其余173名旅客已于4月9日到达洛杉矶。(多媒体演示飞机从上海起飞,在阿留申群岛停留并继续飞往洛杉矶的过程,并留下飞机的飞行路线) 2.新课教学 学生提问:飞机为什么不沿直线飞行? 师:让学生在地球仪上找找这三个城市的位置。
     (上海和洛杉矶都在北纬30o稍偏北的位置,上海的经度在东经120o梢偏东,洛杉矶的经度为西经120o稍偏西。) 师:从世界地图上看似乎沿北纬30o的圆距离最近,可为什么从上海飞往美国洛杉矶的飞机会迫降在东北方向的阿拉斯加呢?这岂不是在绕远道吗? 生:飞机是在绕远道。
     生:飞机没有绕远道,因为这样的话很浪费燃料。 生:是受气流的影响。 师:选择航线的标准是什么? 生:行程尽可能短。 师:怎样航线距离最短或尽可能短,这个问题实际上转化成在地球上两点间的最短距离的问题。
   师:复习七种距离:两点间的距离,点到直线的距离,点到平面的距离,异面直线间的距离,平行线间的距离,平行于平面的直线与平面间的距离,平行平面间的距离。   师:这七种距离的共同特点是什么? 生归纳总结都是一条线段的长,具有最小性、唯一性。
   师:那么球面上两点间的距离是否与前面的距离相同呢? 3.动手试验,探求未知 学生借助几何画板进行试验:作出以线段AB为公共弦的若干个圆,并用画板中的度量功能,分别得到这几个圆中弦AB所对的劣弧的长。
     学生猜想:以线段AB为公共弦的若干个圆中,半径较大的圆,弦所对的劣弧长较小。 由于这个命题的证明不是本节课的重点,于是让有兴趣的同学在课外去完成。 到此,球面距离的概念已呼之欲出,让同学们用数学语言陈述球面距离的定义。
   4.球面距离的定义: 在球面上两点之间的最短距离是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧(或不超过半圆弧)的长度,这条弧长叫做两点间的球面距离。   5.例题分类,寻求解法 ① 经度相同纬度不同的两地的球面距离 例1. 请估算北京与香港之间的球面距离 结论:纬度差的绝对值乘以地球的半径。
   ② 纬度相同经度不同的两地间的球面距离 例2.求上海到洛杉矶的距离。 例3.已知A地位于东经40o,北纬45o,地位于东经130o,北纬45o,求A,B两地之间的球面距离 解:如图所示,A、B都在北纬450圈上,所以∠AOO1=∠BOO1=450, AO1=BO1=Rsin450= ,又因为A、B的经度分别是东经400、1300,所以经度相差900,即∠AO1B=900,所以AB=R,球心角∠AOB= 弧度,所以A、B两地的球面距离为 例4.已知地球上的两地的位置分别是南纬45°和东经135°、北纬45°和西经135°,地球的半径为R,求这两地的球面距离. 解:东经135°与西经135°的经度差是90°,对应的两个半大圆成直二面角. 设两地分别为A,B,球心为O,OA=OB. OA,OB与轴线均成45°角,在赤道两侧. ∠AOB=120o(过程略),弧长是 ∴两地的球面距离是 例5.某国际航空公司计划开通由杭州(东经120o,北纬30o)至列宁格勒(东经30o,北纬60o)的空中航线,请计算这两座城市之间的航程(地球视为半径为R=6370千米的球体,飞机飞行的高度忽略不计, ) 解:如图所示,A、B分别表示杭州(东经1200、北纬300)、列宁格勒(东经300、北纬600), 则∠AOO1=600,AO1= ,OO1= , ∠BOO2=300,BO2= ,OO2= 又因为A、B的经度相差900,O1O2= – , 所以点AO1、BO2是互相垂直的异面直线,由异面直线上两点的距离公式得:AB2= AO12+ BO22+ O1O22=(2- )R2,由余弦定理:cos∠AOB= ,根据条件cos1。
    137= ,因此A、B所对应的球心角∠AOB =1。137弧度,所以A、B两地的球面距离为1。137*6370=7243(千米)。 答:这两座城市之间的航程约为7243千米。
   小结:计算球面距离的关键是先求出过此两点的大圆的劣弧所对的圆心角(球心角),根据弧长即可求出劣弧长,亦即这两点的球面距离。   5.能力检测 练习1。球的直径是20cm,球面上有A,B两点,它们之间的直线距离是10cm,则球面上A,B两点之间的距离的( ) A。
  10cmB。10л D。6.课题小结,交流体验 由同学们小结,可从体验,方法和球面距离的具体求法进行小结。 。

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