一道数学问题已知F2(c,0)是
Hei!Man!WhereisyourpointC?IfthepointCisthepointF2,th 直线AB不垂直于x轴时设直线AB方程为y=kx即kx-y=0(k属于[0,1])A点坐标为(xA,yA)B点坐标为(xB,yB)(AB过椭圆中心,由椭圆所给方程为标准方程知椭圆中心为原点,AB过原点)S三角形ABF2=hd/2h为F2到直线AB的距离即三角形ABF2的高d为线段AB的长即三角形ABF2的底h^2=(xA-xB)^2+(yA-yB)^2d^2=(kc-0)^2/(k^2+1)=k^2c^2/(k^2+1)yA=kxA,yB=kxB所以h^2=(k^2+1)(xA-xB)^...全部
Hei!Man!WhereisyourpointC?IfthepointCisthepointF2,th 直线AB不垂直于x轴时设直线AB方程为y=kx即kx-y=0(k属于[0,1])A点坐标为(xA,yA)B点坐标为(xB,yB)(AB过椭圆中心,由椭圆所给方程为标准方程知椭圆中心为原点,AB过原点)S三角形ABF2=hd/2h为F2到直线AB的距离即三角形ABF2的高d为线段AB的长即三角形ABF2的底h^2=(xA-xB)^2+(yA-yB)^2d^2=(kc-0)^2/(k^2+1)=k^2c^2/(k^2+1)yA=kxA,yB=kxB所以h^2=(k^2+1)(xA-xB)^2=(k^2+1)[(xA+xB)^2-2xAxB]联立y=kx与x^2/a^2+y^2/b^2=1得(b^2+a^2k^2)x^2-1=0所以xA+xB=0xAxB=-1/(b^2+a^2k^2)所以h^2=(k^2+1)[-2(-1/(b^2+a^2k^2))]=2(k^2+1)/(b^2+a^2k^2)所以S三角形^2=[2(k^2+1)/(b^2+a^2k^2)][k^2c^2/(k^2+1)]/2^2=(k^2c^2)/(b^2+a^2k^2)直线AB垂直于x轴时d=2b,h=c所以S三角形^2=b^2c^2比较(k^2c^2)/(b^2+a^2k^2)(k属于[0,1])与b^2c^2即知b^2c^2最大所以S三角形最大值=bcsolution2由solution1知AB过原点所以S三角形ABF2=S三角形AOF2+S三角形BOF2(O即为原点)S三角形AOF2=c*yA的绝对值/2S三角形BOF2=c*yB的绝对值/2所以S三角形ABF2=c*(yA的绝对值+yB的绝对值)/2易知yA、yB的绝对值越大,S三角形ABF2越大。
而yA、yB的绝对值最大值均为b(即AB长等于椭圆短轴长),所以S三角形最大值=c*2b/2=bc。收起
