三角形内心与外心距离的平方等于外接圆半径平方减去二倍外接圆半径与内接园半径之积.
证:设△ABC内接于⊙O,又外切于⊙O',等价于从A作⊙O'的切线AC,AB,与⊙O交于C和B,连接BC,则应该有BC与⊙O'相切,即∠ABO'=∠O'BC。。。。。。
。。。。。。
连接AO',延长AO'与⊙O交于D,则AD是∠BAC的平分线,即∠O'AB=∠CAO',而
∠CAO'=∠CBD,所以有∠O'AB=∠CBD。 。。。。
。。
而∠BO'D-∠ABO'=∠O'AB,∠CBD=∠O'BD-∠O'BC
代入得:∠O'BD-∠O'BC=∠BO'D-∠ABO'。。。。。。。。
于是成立当且仅当∠BO'D=∠O'BD。
。。。。。。。
成立等价于BD=O'D
作⊙O直径DD',连D'B与O'E,其中E是AB与⊙O'的切点,△AO'E与△D'DB是直角三角形
且有:∠O'AE=∠DD'B,所以△AO'E∽△D'DB
所以AO'/EO'=D'D/BD,AO'/r=2R/BD,AO'×BD=2Rr,
所以O'把通过它的圆⊙O的弦分成两段,这两段之积为常数,若考虑⊙O的弦为⊙O的过O'的直径A'D',则A'O'×O'D'=(R-d)(R+d)
所以AO'×O'D=(R-d)(R+d)。
。。。。。
除以AO'×BD=2Rr得:O'D/BD=(R-d)(R+d)/2Rr
可见O'D=BD的充要条件为2Rr=(R-d)(R+d),即d^2=R^2-2Rr
。
你在竞赛书里找吧,要画图,很麻烦的,我在上海出的平面几何解题词典里看到了.
这个很麻烦很难的,几何的学习指导书里有阅读