数学问题:AB是椭圆x^2/a^2+y^
1,AB是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)中不平行于对称轴且不过原点O的一条弦,M是AB的中点,
求证:Kab。Kom=-b^2/a^2
不平行于对称轴的直线斜率存在且不等于0，又直线不过原点
所以，设直线为：y=kx+c
联立椭圆b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0和直线y=kx+c得到：
b^2x^2+a^2(kx+c)^2-a^2b^2=0
===> b^2x^2+k^2a^2x^2+2a^2kcx+a^2(c^2-b^2)=0
===> (b^2+k^2a^2)x^2+2a^2kcx+a^2(c^2-b^2)=0
所以：x1+x2=-2a^2kc/(b^...全部
1,AB是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)中不平行于对称轴且不过原点O的一条弦,M是AB的中点,
求证:Kab。Kom=-b^2/a^2
不平行于对称轴的直线斜率存在且不等于0，又直线不过原点
所以，设直线为：y=kx+c
联立椭圆b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0和直线y=kx+c得到：
b^2x^2+a^2(kx+c)^2-a^2b^2=0
===> b^2x^2+k^2a^2x^2+2a^2kcx+a^2(c^2-b^2)=0
===> (b^2+k^2a^2)x^2+2a^2kcx+a^2(c^2-b^2)=0
所以：x1+x2=-2a^2kc/(b^2+k^2a^2)
所以，M点的横坐标为：Mx=(x1+x2)/2=-a^2kc/(b^2+k^2a^2)
又：
y1=kx1+c
y2=kx2+c
所以：y1+y2=k(x1+x2)+2c=[-2a^2k^2c/(b^2+k^2a^2)]+2c
=[-2a^2k^2c+2b^2c+2k^2a^2c]/(b^2+k^2a^2)
=2b^2c/(b^2+k^2a^2)
所以，点M的纵坐标My=(y1+y2)/2=b^2c/(b^2+k^2a^2)
所以：
Kom=(My-0)/(Mx-0)=My/Mx=[b^2c/(b^2+k^2a^2)]/[-a^2kc/(b^2+k^2a^2)]
=-b^2/(a^2k)
所以：
Kab*Kom=k*[-b^2/(a^2k)]=-b^2/a^2
2,椭圆ax^2+by^2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2√2, O为坐标原点,OC斜率为√2/2,求a,b的值
联立椭圆ax^2+by^2-1=0与直线y=1-x得到：
ax^2+b(1-x)^2-1=0
===> ax^2+bx^2-2bx+b-1=0
===> (a+b)x^2-2bx+(b-1)=0
所以：x1+x2=2b/(a+b)、x1x2=(b-1)/(a+b)………………（1）
且：
y1=1-x1
y2=1-x2
所以：y1+y2=1-x1+1-x2=2-(x1+x2)=2-[2b/(a+b)]=2a/(a+b)
y1-y2=(1-x1)-(1-x2)=(x2-x1)
而，|AB|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=2(x1-x2)^2
=2[(x1+x2)^2-4x1x2]
=2*{[2b/(a+b)]^2-4(b-1)/(a+b)}
=2*{[4b^2/(a+b)^2]-[4(b-1)(a+b)/(a+b)^2]}
=2*[4b^2-4ab-4b^2+4a+4b]/(a+b)^2
=8*(a+b-ab)/(a+b)^2
=(2√2)*2=8
所以：(a+b-ab)/(a+b)^2=1……………………………………（2）
又，C点坐标为：C(b/(a+b),a/(a+b))
所以，Koc=[a/(a+b)-0]/[b/(a+b)-0]
=a/b=√2/2………………………………………………………（3）
联立(2)(3)得到：
a=1/3
b=√2/3
3,若抛物线y=ax^2-1上总有关于l:x+y=1对称的相异两点,求a的取值范围
既然有两点关于直线l：x+y=1对称，那么这两点的连线与直线l垂直。
设该两点为A(x1,y1)、B(x2,y2)
所以，Kab=1
设AB所在直线方程为：y=x+b
联立直线y=x+b与抛物线方程y=ax^2-1得到：
x+b=ax^2-1
===> ax^2-x-b-1=0
===> ax^2-x-(b+1)=0…………………………………………（1）
则：x1+x2=1/a
所以，AB中点C的横坐标Xc=(x1+x2)/2=1/2a
又：
y1=x1+b
y2=x2+b
所以：y1+y2=(x1+x2)+2b
所以，AB中点C的纵坐标Yc=(y1+y2)/2=(x1+x2)/2+b=(1/2a)+b
而，点C在直线l:x+y=1上
所以：(1/2a)+(1/2a)+b=1
则，b=1-(1/a)=(a-1)/a……………………………………（2）
因为直线y=x+b与抛物线y=ax^2-1有相异的两个交点
所以，方程(1)有相异的两个实数根
即：△=1+4a(b+1)＞0
===> 1+4a[(a-1)/a+1]＞0
===> 1+4(a-1)+4a＞0
===> 1+4a-4+4a＞0
===> 8a＞3
===> a＞3/8。
收起
