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线代 关于最大无关组的问题 数学

向量组A和它的最大无关组Ao等价 如何证明?

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2013-05-30

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    极大无关组A_0是向量组A的一个子集合, 所以A_0中的向量显然可以被A中向量线性表出。 反之, 设A_0={v1,。。。,vk}。 任意v∈A-A_0, 由A_0极大无关知v1,。
  。。,vk,v线性相关, 故存在不全为0的系数c_i和c使得c1v1+。。。  +ckvk+cv=0。若c=0,则c1,。。。,ck不全为0,与v1,。。。,vk线性无关相矛盾。
  所以c≠0, 于是v=-(c1/c)v1-。。。-(ck/c)vk。这就证明了A可以被A_0线性标出。于是证得A与A_0等价。

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