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零度等于0时,线性无关向量组的像线性无关吗?

零度等于0时,线性无关向量组的像线性无关吗?怎么证明的!

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2012-10-27

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    答案是肯定的。 证明如下: 设A是线性空间V上一个线性变换, 其零度=0。 换言之, V中只有零向量被A映成0。 设v_1,v_2,。。。,v_k是一个线性无关组, 假设它们在A下的像有一个线性组合=0, 即有c_1,。
  。。,c_k使得 c_1A(v_1)+c_2A(v_2)+。  。。+c_kA(v_k)=0, 从而有 A(c_1v_1+c_2v_2+。。。+c_kv_k)=0。 由A的零度=0可得 c_1v_1+c_2v_2+。
  
  。。+c_kv_k=0。 因为v_1,。。。,v_k线性无关, 所以所有的系数c_1,。。。,c_k全为0。   这就证明了A(v_1),。。。,A(v_k)也是线性无关的。

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