高等代数

高等代数问题（α1，α2，…，αs）是

证法一： 设V=L（α1，α2，…，αs）,由于（α1，α2，…，αs）是线性无关向量组，从而V是s维线性空间，并且α1，α2，…，αs为V的一组基。 在V上定义线性变换 А（α1，α2，…，αs）=（α1，α2，…。 ，αs）A， 则线性变换的秩（А）=矩阵的秩（A） 又А（α1，α2，…，αs）=（Аα1，Аα2，…，Аαs） （α1，α2，…。，αs）A=（β1，β2，…，βs） 因此（Аα1，Аα2，…，Аαs）=（β1，β2，…，βs） 即Аαi=βi 所以 矩阵的秩（A）=线性变换的秩（А） =秩（Аα1，Аα2，…，Аαs） =秩（β1，β2，…，βs） 得证。 证法二...全部

  证法一： 设V=L（α1，α2，…，αs）,由于（α1，α2，…，αs）是线性无关向量组，从而V是s维线性空间，并且α1，α2，…，αs为V的一组基。 在V上定义线性变换 А（α1，α2，…，αs）=（α1，α2，…。
  ，αs）A， 则线性变换的秩（А）=矩阵的秩（A） 又А（α1，α2，…，αs）=（Аα1，Аα2，…，Аαs） （α1，α2，…。，αs）A=（β1，β2，…，βs） 因此（Аα1，Аα2，…，Аαs）=（β1，β2，…，βs） 即Аαi=βi 所以 矩阵的秩（A）=线性变换的秩（А） =秩（Аα1，Аα2，…，Аαs） =秩（β1，β2，…，βs） 得证。
   证法二： 设秩（A）=r，则存在初等矩阵P1,P2,。。。,Pn,Q1,Q2,。。。,Qm,使得 A=(P1P2。。。Pn)(Er)(Q1Q2。。。Qm) 这里Er是前r个对角线元素为1，其余元素为零的s*s矩阵 于是（β1，β2，…，βs）=（α1，α2，…。
  ，αs）A =（α1，α2，…。，αs）(P1P2。。。Pn)(Er)(Q1Q2。。。Qm) =【（α1，α2，…。，αs）(P1P2。。。Pn)】(Er)(Q1Q2。。。Qm) 记（γ1，γ2，。
  。。，γs）=【（α1，α2，…。，αs）(P1P2。。。Pn)】 则（β1，β2，…，βs） =【（α1，α2，…。，αs）(P1P2。。。Pn)】(Er)(Q1Q2。。。Qm) =（γ1，γ2，。
  。。，γs）(Er)(Q1Q2。。。Qm) =（γ1，γ2，。。。，γr,0,。。。,0）(Q1Q2。。。Qm) 由于初等变换不改变矩阵的秩，所以 （γ1，γ2，。。。，γs）=秩（α1，α2，…。
  ，αs）=s， 即γ1，γ2，。。。，γs线性无关。 并且 r = 秩（γ1，γ2，。。。，γr,0,。。。,0）= 秩【（γ1，γ2，。。。，γr,0,。。。,0）(Q1Q2。。。Qm）】 所以秩（β1，β2，…，βs） = 秩【（γ1，γ2，。
  。。，γr,0,。。。,0）(Q1Q2。。。Qm）】= r = 秩（A） 证毕。 。收起