求内切球的最大半径设四棱锥P-A
设四棱锥P-ABCD中底面ABCD是边长为a的正方形,且PD=a,PA=PC=根号2a,则此四棱锥的内切球的最大半径长为多少
不存在什么“最大”半径!因为根据已有条件,该四棱锥就是固定的,所以其内切球半径为定值。
已知底面ABCD为边长a的正方形,且PD=a,PA=PC=√2a
所以由勾股定理知,∠PDA=∠PDC=90°
则,PD⊥面ABCD
所以,四棱锥P-ABCD的体积V=(1/3)SH=(1/3)*a^2*a=a^3/3
因为PD⊥面ABCD
所以,PD⊥AB
而正方形ABCD中AB⊥AD
所以,AB⊥面PAD
则,AB⊥PD
所以,△PAB为直角三角形
同理,△PCB也是直角...全部
设四棱锥P-ABCD中底面ABCD是边长为a的正方形,且PD=a,PA=PC=根号2a,则此四棱锥的内切球的最大半径长为多少
不存在什么“最大”半径!因为根据已有条件,该四棱锥就是固定的,所以其内切球半径为定值。
已知底面ABCD为边长a的正方形,且PD=a,PA=PC=√2a
所以由勾股定理知,∠PDA=∠PDC=90°
则,PD⊥面ABCD
所以,四棱锥P-ABCD的体积V=(1/3)SH=(1/3)*a^2*a=a^3/3
因为PD⊥面ABCD
所以,PD⊥AB
而正方形ABCD中AB⊥AD
所以,AB⊥面PAD
则,AB⊥PD
所以,△PAB为直角三角形
同理,△PCB也是直角三角形,且Rt△PAB≌Rt△PCB
很容易得到:
S△PAB=S△PCB=(√2/2)a^2
S△PDA=S△PDC=(1/2)a^2
底面正方形S□ABCD=a^2
所以,四棱锥P-ABCD的表面积为S=(2+√2)a^2
设内切球球形为O,连接OA、OB、OC、OD、OP
得到5个椎体O-PAB,O-PBC,O-PCD,O-PAD,O-ABCD
因为球O与四棱锥的四个面均相切
所以,这5个椎体以O为顶点的高均为内切球半径r
所以它们的体积之和等于四棱锥P-ABCD的体积
即:
(1/3)*S△PAB*r+(1/3)*S△PBC*r+(1/3)*S△PCD*r+(1/3)*S△PAD*r+(1/3)*S□ABCD*r=V=a^3/3
===> (r/3)*(S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD+S□ABCD)=a^3/3
===> (r/3)*S表面积=a^3/3
===> r=a^3/S=a^3/[(2+√2)a^2]
===> r=a/(2+√2)
===> a=[(2-√2)/2]a。
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