什么叫做齐次线性方程组的解空间？如何求解空间？基础解系与解空间的基有何关系？
齐次线性方程组永远有解,数域F上一个n 元齐次线性方程组的所有解向量作成Fn的一个子空间,这个子空间叫作所给的齐次线性方程组的解空间。
现在设(3)的系数矩阵的秩等于r。那么通过行初等变换,必要时交换列,可以将系数矩阵A化为以下形式的一个矩阵; 。 与这个矩阵相当的齐次线性方程组是 y1 +c1,r+1yr+1+…+c1nyn=0, y2 +c2,r+1yr+1+…+c2nyn=0, ………………………………, yr+cr,r+1yr+1+…+cr,nyn=0, 这里yk=xik,k=1,…n,就是未知量yr+1,…yn。 依次让它们取值(1,0,…,0),(0,1,0,…0),…,...全部
齐次线性方程组永远有解,数域F上一个n 元齐次线性方程组的所有解向量作成Fn的一个子空间,这个子空间叫作所给的齐次线性方程组的解空间。
现在设(3)的系数矩阵的秩等于r。那么通过行初等变换,必要时交换列,可以将系数矩阵A化为以下形式的一个矩阵; 。
与这个矩阵相当的齐次线性方程组是 y1 +c1,r+1yr+1+…+c1nyn=0, y2 +c2,r+1yr+1+…+c2nyn=0, ………………………………, yr+cr,r+1yr+1+…+cr,nyn=0, 这里yk=xik,k=1,…n,就是未知量yr+1,…yn。
依次让它们取值(1,0,…,0),(0,1,0,…0),…,(0,…,0,1),我们得到(4)的n-r个解向量 =, =,……。, = 这n-r个解向量显然线性无关,另一方面,设(k1,k2,…,kn)是(4)的任意一个解,代入(4)得 k1=-c1,r+1kr+1-…-c1,nkn, k2=-c2,r+1kr+1-…-c2,nkn, …………………………… kr=-cr,r+1kr+1-…- cr,nkn, kr+1=1kr+1, ……………………………… kn= 1kn。
于是 =kr+1,ηr+1+kr+2ηr+2+…+knηn 因此,(4)的每一个解向量都可以由这n-r个解向量ηr+1,ηr+2,…,ηn线性表示,这样一来, {ηr+1,ηr+2,…,ηn}构成(4)的解空间的一个基,重新排列每一解向量ηi中坐标的次序,就得到齐次线性方程组(3)的解空间的一个基,即 定理6。
7。3 数域上一个n个未知量的齐次线性方程组的一毁解作成Fn的一个子空间,称为这个齐次线性方程组的解空间,如果所给的方程组的系数矩阵的秩是r,那么解空间的维数n-r。 一个齐次线性方程组的解空间的一个基叫做这个方程组的一个基础解系。
例 1 求齐次线性方程组 x1-x2+5x3-x4=0 x1+x2-2x3+3x4=0 3x1-x2+8x3+x4=0 x1+3x2-9x3+7x4=0 的一个基础解系。 对行施行初等变换化简系数矩阵,得 与这个矩阵相当的齐次方程组是 取作为自由未知量,依次令和得出方程的两个解 它们作成所给的方程组的一个基础解系。
方程组的任意一个解都有形式 这里是所数中任意数,方程组的解空间由一切形如的解向量组成。设 (5) A 是数域F上任意一个线性方程组,A是一个m8n矩阵,把(5)的常数都换成零,就得到一个齐次线性方程组 A= 齐次方程组(6)叫做方程组(5)的导出齐次方程组, 定理6。
7。4 如果线性方程组(5)有解那么(5)的一个解与导出齐次方程组的一个解的任意解都可以写成(5)的一个固定(6)的一个解的和, 证 设ν=(c1,c2,…cn)是方程组(5)的一个解,δ=(d1,d2,…,dn)是导出齐次方程组(6)的一个解。
那么 A=A 所以是(5)的一个解设是(5)的任意一个解。那么 A 因此μ=λ—ν是导出方程组(6)的一个解,而λ=ν+μ。 。收起
