怎么证明切割线定理、割线定理、弦切角定理?
切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。 几何语言: ∵PT切⊙O于点T,PBA是⊙O的割线 ∴PT^2=PA·PB(切割线定理) 推论: 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言: ∵PBA,PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=PA·PB(切割线定理推论)(割线定理) 由上可知:PT^2=PA·PB=PC·PD 切割线定理证明: 设ABP是⊙O的一条割线,PT是⊙O的一条切线,切点为T,则PT^2=PA·PB 证明:连接AT, BT ∵∠PTB=∠PA...全部
切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。 几何语言: ∵PT切⊙O于点T,PBA是⊙O的割线 ∴PT^2=PA·PB(切割线定理) 推论: 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言: ∵PBA,PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=PA·PB(切割线定理推论)(割线定理) 由上可知:PT^2=PA·PB=PC·PD 切割线定理证明: 设ABP是⊙O的一条割线,PT是⊙O的一条切线,切点为T,则PT^2=PA·PB 证明:连接AT, BT ∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理) ∠P=∠P(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似) 则PB:PT=PT:AP 即:PT^2=PB·PA 割线定理:从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A。
B。C。D 则有 PA·PB=PC·PD,当PA=PB,即点A、B重合于T,即PT切线是得到切线定理PT^2=PC*PD 要证PT2=PA·PB, 可以证明 ,为此可证以 PA·PT为边的三角形与以PT,BP为边的三角形相似,于是考虑作辅助线TP,PB.(图3).容易证明∠PTA=∠B又∠P=∠P,因此△BPT∽△TPA,于是问题可证. 弦切角定理 切线定理 割线定理 相交弦定理 都可以用同样方法证明 割线定理 如图 直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线,则PA·PB=PC·PD 证明:连接AD、BC ∵∠A和∠C都对弧BD ∴由圆周角定理,得 ∠A=∠C 又∵∠APD=∠CPB ∴△ADP∽△CBP ∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP弦切角定理: 定义弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。
(弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明 证明:设圆心为O,连接OC,OB,OA。过点A作TP的平行线交BC于D, 则∠TCB=∠CDA ∵∠TCB=90-∠OCD ∵∠BOC=180-2∠OCD 更清楚的 ∴,∠BOC=2∠TCB 证明已知:AC是⊙O的弦,AB是⊙O的切线,A为切点,弧是弦切角∠BAC所夹的弧。
求证:。 证明:分三种情况: (1) 圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径,AB切⊙O于A, ∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, (2) 圆心O在∠BAC的内部。 过A作直径AD交⊙O于D, 那么 。
(3) 圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于D 那么。收起