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等腰三角形底边延长线上任一点与两腰的距离差等于腰上的高

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2012-04-24

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    把题目改变成如下题目:“如图,已知△ABC中,AB=AC,P为BC上任一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,BD⊥AC于D,求证:PE+PF=BD。” 证明:过B作BG⊥GF,交FP的延长线于G。
   ∵BD⊥AC GF⊥AC ∴∠BDF=∠GFD=∠BGF=90° ∴四边形BGFD为矩形 ∴BD=FG=PF+PG 且BG∥DF 即BG∥AC ∴∠C=∠PBG 又∵AB=AC ∴∠ACB=∠ABC ∴∠PBG=∠ABC ∵PE⊥AB ∴∠PEB=90°=∠BGP PB=PB(公共边) ∴△BGP≌△BEP(A。
    A。S) ∴PG=PE ∴PE+PF=PG+PF=GF=BD, 即PE+PF=BD 。

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