高数的两个问题题是这样:1.设f
1、证明:取c∈(a,b),设f(c)=N(常数),对任x∈(a,b),
对f(x)在以x与c为端点的闭区间上应用拉格朗日中值定理,有
f(x)-f(c)=f'(ξ)(x-c) ==> |f(x)-f(c)|=|f'(ξ)||x-c|
因为f'(x)在(a,b)内有界,有|f'(ξ)|≤M,又|x-c|≤|b-a|
所以|f(x)-f(c)|≤M|b-a|,从而有
|f(x)|=|f(x)-f(c)+f(c)|≤|f(x)-f(c)|+|f(c)|
≤M|b-a|+|N|(常数)
即f(x)在(a,b)有界。
2、这不就是原函数存在定理吗,书上都有证明的,在牛顿-莱布尼兹定理前面的那个...全部
1、证明:取c∈(a,b),设f(c)=N(常数),对任x∈(a,b),
对f(x)在以x与c为端点的闭区间上应用拉格朗日中值定理,有
f(x)-f(c)=f'(ξ)(x-c) ==> |f(x)-f(c)|=|f'(ξ)||x-c|
因为f'(x)在(a,b)内有界,有|f'(ξ)|≤M,又|x-c|≤|b-a|
所以|f(x)-f(c)|≤M|b-a|,从而有
|f(x)|=|f(x)-f(c)+f(c)|≤|f(x)-f(c)|+|f(c)|
≤M|b-a|+|N|(常数)
即f(x)在(a,b)有界。
2、这不就是原函数存在定理吗,书上都有证明的,在牛顿-莱布尼兹定理前面的那个。
取c∈(a,b),令F(x)=∫f(t)dt
用定义求F(x)的导数,得到F'(x)=f(x),就完成证明了,只要把书上证明里的a换成c,抄下来就行。
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什么书?这个定理不证明,还算什么教材!
ΔF(x)=F(x+Δx)-F(x)=∫f(t)dt-∫f(t)dt
=∫f(t)dt+∫f(t)dt=)=∫f(t)dt
=f(ξ)Δx (ξ介于x与x+Δx之间,这里用积分中值定理)
ΔF(x)/Δx=f(ξ)
limΔF(x)/Δx=limf(ξ)=f(x) (用到f(x)连续)
即F'(x)=f(x)。
。收起