所有投影线相互平行并垂直投影面的投影法称为正投影法？
第一节 投影法的概念 物体被灯光或日光照射,在地面或墙面上就会留下影子,这就是投影现象?人们在上述现象 的启示下,在长期的生产实践中,经过反复地观察和研究,从物体和投影的对应关系中,总结出了 用投影原理在平面上表达物体形状的方法,这种方法就是投影法。 投影法一般可分为两大类:一类叫做中心投影法,一类叫做平行投影法。 一、中心投影法 我们把光源s 称为投射中心,光线称为投射线,平面p 称为投影面,在 p 面上所得到的图形称为投影? 由此图可知,投射线都是从投射中心光源点灯泡发出的,投射线互不平行,所得的投影大小总是随物体的位置不同而改变?这种投射线互不平行且汇交于一点的投影法称为中心投影...全部
第一节 投影法的概念 物体被灯光或日光照射,在地面或墙面上就会留下影子,这就是投影现象?人们在上述现象 的启示下,在长期的生产实践中,经过反复地观察和研究,从物体和投影的对应关系中,总结出了 用投影原理在平面上表达物体形状的方法,这种方法就是投影法。
投影法一般可分为两大类:一类叫做中心投影法,一类叫做平行投影法。 一、中心投影法 我们把光源s 称为投射中心,光线称为投射线,平面p 称为投影面,在 p 面上所得到的图形称为投影? 由此图可知,投射线都是从投射中心光源点灯泡发出的,投射线互不平行,所得的投影大小总是随物体的位置不同而改变?这种投射线互不平行且汇交于一点的投影法称为中心投影法。
用中心投影法所得到的投影不能反映物体的真实大小,因此,它不适用于绘制机械图样?但是,由于中心投影法绘制的图形立体感较强,所以它适用于绘制建筑物的外观图以及美术画等? 二平行投影法 在图3 - 1 中,随着投射中心s 距离投影平面的远近不同,所得到的投影的大小就会不同? 设想将投射中心s 移到无穷远处,这时投射线互相平行,则投影面上的投影四边形abcd 就会与 空间四边形abcd 的轮廓大小相等,所得到的投影可以反映物体的实际形状,如图3 - 2 所示? 图3 - 1 中心投影法 图3 - 2 平行投影法 ·45 · ----------------------- page 2----------------------- 这种投射线相互平行的投影法称为平行投影法(图3 - 2)? 在平行投影法中,根据投射线与投影面所成的角度不同,又可分为斜投影法和正投影法两 种? 1。
斜投影法 在平行投影法中,投射线与投影面倾斜成某一角度时,称为斜投影法?按斜投影法得到的投 影称为斜投影,如图3 - 3a 所示? 2。 正投影法 在平行投影法中,投射线与投影面垂直时,称为正投影法?按正投影法得到的投影称为正投 影,如图3 - 3b 所示? 图3 - 3 斜投影与正投影 由于用正投影法得到的投影能够表达物体的真实形状和大小,具有较好的度量性,绘制也较 简便,故而在工程上得到了普遍采用? 第二节 三视图的形成及投影规律 一?三视图的形成 物体是有长?宽?高三个尺度的立体?我们要认识它,就应该从上?下?左?右?前?后各个方向 去观察它,才能对其有一个完整的了解?图3 - 4 所示的是四个不同的物体,只取它们一个投影 面上的投影,如果不附加其他说明,是不能确定各物体的整个形状的?要反映物体的完整形状, 必须根据物体的繁简,多取几个投影面上的投影相互补充,才能把物体的形状表达清楚? 图3- 4 不同形状的物体在同一投影面上可以得到相同的投影 ·46 · ----------------------- page 3----------------------- 1。
三投影面体系 为了表达物体的形状和大小,选取互相垂直的三个投影面,如图3 - 5 所示?三个投影面的 名称和代号是: 图3- 5 三投影面体系 正对观察者的投影面称为正立投影面(简称正面),代号用“v”表示? 右边侧立的投影面称为侧立投影面(简称侧面),代号用“w”表示? 水平位置的投影面称为水平投影面(简称水平面),代号用“h”表示? 这三个互相垂直的投影面就好像室内一角,即像相互垂直的两堵墙壁和地板那样,构成一个 三投影面体系?当物体分别向三个投影面作正投影时,就会得到物体的正面投影(v面投影),侧 面投影(w 面投影)和水平面投影(h 面投影)? 由于三投影面彼此垂直相交,故形成三根投影轴,它们的名称分别是: 正立投影面(v)与水平投影面(h)相交的交线,称 ox轴,简称x 轴? 水平投影面(h)与侧立投影面(w)相交的交线,称 oy 轴,简称 y轴? 正立投影面(v)与侧立投影面(w)相交的交线,称 oz轴,简称z 轴? x?y?z 三轴的交点称为原点,用“o”表示? 2。
三视图的形成 在工程上,假设把物体放在观察者与投影面体系之间(图3 - 6a),将观察者的视线看成是投 射线,且互相平行地垂直于各投影面进行观察,而获得正投影?这种按正投影法并根据有关标准 和规定画出的物体的图形,称为视图?正面投影(由物体的前方向后方投射所得到的视图)称为 主视图,水平面投影(由物体的上方向下方投射所得到的视图)称为俯视图,侧面投影(由物体的 左方向右方投射所得到的视图)称为左视图? 为了把空间的三个视图画在一个平面上,就必须把三个投影面展开摊平?展开的方法是:正 面(v)保持不动,水平面(h)绕 ox轴向下旋转90°,侧面(w)绕 oz轴向右旋转90°,使它们和正 面(v)展成一个平面,如图3- 6b?c 所示?这样展开在一个平面上的三个视图,称为物体的三面 视图,简称三视图?由于投影面的边框是设想的,所以不必画出?去掉投影面边框后的物体的三 视图,如图3 - 6d 所示? ·47 · ----------------------- page 4----------------------- 二?三视图的关系及投影规律 从三视图的形成过程中,可以总结出三视图的位置关系?投影关系和方位关系? 1。
位置关系 由图3 - 6 可知,物体的三个视图按规定展开,摊平在同一平面上以后,具有明确的位置关 系,主视图在上方,俯视图在主视图的正下方,左视图在主视图的正右方? 2。 投影关系 任何一个物体都有长?宽?高三个方向的尺寸?在物体的三视图中(图3 - 6),可以看出: 主视图反映物体的长度和高度? 俯视图反映物体的长度和宽度? 左视图反映物体的高度和宽度? 由于三个视图反映的是同一物体,其长?宽?高是一致的,所以每两个视图之间必有一个相同 的度量?即: 主?俯视图反映了物体的同样长度(等长)? 主?左视图反映了物体的同样高度(等高)? 俯?左视图反映了物体的同样宽度(等宽)? 图3- 6 三视图的形成 因此,三视图之间的投影对应关系可以归纳为: 主视?俯视长对正(等长)? ·48 · ----------------------- page 5----------------------- 主视?左视高平齐(等高)? 俯视?左视宽相等(等宽)? 上面所归纳的“三等”关系,简单地说就是“长对正,高平齐,宽相等”?对于任何一个物体,不 论是整体,还是局部,这个投影对应关系都保持不变(图3 - 7)?“三等”关系反映了三个视图之 间的投影规律,是我们看图?画图和检查图样的依据? 图3- 7 三视图的“三等”对应关系 3。
方位关系 三视图不仅反映了物体的长?宽?高,同时也反映了物体的上?下?左?右?前?后六个方位的位 置关系?从图3 - 8 中,我们可以看出: 主视图反映了物体的上?下?左?右方位? 俯视图反映了物体的前?后?左?右方位? 左视图反映了物体的上?下?前?后方位? 图3 - 8 三视图反映物体六个方位的位置关系 ·49 · ----------------------- page 6----------------------- 第三节 点 的 投 影 点?线?面是构成物体形状的基本几何元素?学习和熟练掌握它们的投影特性和规律,能够 透彻理解机械图样所表达的内容? 在点?线?面这几个基本几何元素中,点是最基本?最简单的几何元素?研究点的投影,掌握 其投影规律,能为正确理解和表达物体的形状打下坚实的基础? 一?点的投影特性 点的投影特性:点的投影永远是点? 二?点的投影标记 如图3 - 9a 所示,将空间a 点置于三投影面体系中,自a 点分别向三个投影面作垂线(即投 射线),交得的三个垂足a?a ?a 即为a 点的h 面投影?v面投影和w 面投影? 图3- 9 点的三面投影 按统一规定,空间点用大写字母a?b?c,标记?空间点在 h 面上的投影用相应的小写字 母a?b?c,标记;在 v 面上的投影用小写字母加一撇a ?b ?c ,标记;在 w 面上的投影用小写 字母加两撇a ?b ?c ,标记? 三?点的三面投影 将图3 - 9a 按投影面展开法展开(3 - 9b),并将投影面的边框线去掉,便得到如图3 - 9c 所示 点的三面投影图? ·50 · ----------------------- page 7----------------------- 为了便于进行投影分析,用细实线将点的相邻两投影连起来,如图3 - 9d 所示? aa 和a a 称为投影连线? a 与a 不能直接相连,因为在三个投影面展开时,y 轴被分开了,y 和y 均表 h w 示同一根y 轴,因而作图时常以o 为圆心,以y 轴坐标为半径画圆弧把它们联系起来,或者用如 图3 - 9e?f 所示的辅助线法实现这个联系? 四?点的投影规律 由于点的三面投影是空间点同时向三个投影面作正投影,经过展开而得到的,所以在图 3 - 10a中,投射线aa 和aa 所构成的平面aaa a ,显然是同时垂直 h 面和v 面的?因此,aa 和 x x a ax 同时垂直ox轴?当a 跟着h 面绕ox 轴向下旋转与v 面重合时,在投影图上 a?ax ?a 三点 共线,如图3 - 10b 所示?同理可以得到a ?az ?a 三点共线,且aa ? ox,a a ? oz? 图3- 10 点的投影规律 通过以上分析,可归纳出点的投影规律: (1)点的正面投影与水平面投影的连线一定垂直于ox轴,即aa ? ox; (2)点的正面投影与侧面投影的连线一定垂直于oz轴,即a a ? oz; (3)点的水平面投影到ox轴的距离等于点的侧面投影到oz轴的距离,即aa = a a ? x z 点本身没有长?宽?高,但是,点在三投影面体系中的投影规律,实质上与上节所述的“三等” 对应关系是一致的?几何体上每一个点的投影都应符合这条投影规律? 五?点的坐标 点的空间位置也可用其直角坐标值来确定?如图3 - 11所示,如果把三投影面体系看作是 直角坐标系,则投影面h?v?w面和投影轴x?y?z 轴可分别看作是坐标面和坐标轴,三轴的交 点o 可看作是坐标原点?点到三个投影面的距离可以用直角坐标系的三个坐标x?y?z 表示? 点的坐标值的意义如下: a 点到w 面的距离 aa = aa = a a = oa ,以坐标x 标记? y z x a 点到v面的距离 aa = aa = a a = oa ,以坐标y 标记? x z y a 点到h 面的距离 aa = a ax = a ay = oaz ,以坐标z 标记? 由于x 坐标确定空间点在投影面体系中的左右位置,y 坐标确定空间点在投影面体系中的 前后位置?z 坐标确定点在投影面体系中的高低位置,因此,点在空间的位置可以用坐标x?y?z 确定? 直角坐标值的书写形式,通常采用a(x,y,z);a(20,15,30);a(x ,y ,z );b(x ,y ,z )等? a a a b b b ·51 · ----------------------- page 8----------------------- 图3- 11 点的坐标 如a(20,15,30),即表示a 点x 坐标(oa )为20 mm;y 坐标(oa )为15 mm;z 坐标(oa )为 x y z 30 mm?通常把 x 坐标称为横标,y 坐标称为纵标,z 坐标称为高标? 六?点的投影与坐标 由图3 - 11 可知,空间点的任一面投影,都由该点的两个坐标值决定?即 水平面投影 a 由a 点的x?y 两坐标确定? 正面投影a 由a 点的x?z 两坐标确定? 侧面投影 a 由a 点的y?z 两坐标确定? 点的三个坐标完全确定了点在三投影面体系中的位置,因而也就完全确定了点的三个投影? 在三投影面体系中,因为点的每个投影反映点的两个坐标,点的两个投影能反映点的三个坐标, 所以,只要知道点的两个投影就可以完全确定点在空间的位置? 例3 - 1 如图3 - 12a所示,已知点a(20,10,18),求作它的三面投影? 解 根据点的空间直角坐标值的含义可知: x = 20 mm= oax y = 10 mm= oay z = 18 mm= oaz 作图步骤如图3 - 12b?c?d 所示? (1)画出投影轴,定出原点 o? (2)在x 轴的正向量取oa = 20,定出a (图3 - 12b)? x x (3)过 a 作x 轴的垂线,在垂线上沿 oz 方向量取a a = 18 mm,沿 oy 方向量取a a = x x h x 10 mm,分别得a ?a(图3 - 12c)? (4)过a 作z 轴的垂线,得交点a ,在垂线上沿oy 方向量取a a = 10 mm,定出a ;或由a z w z 作x 轴平行线,得交点 a ,再用圆规作图得a (图3 - 12d)? y h 例3 - 2 已知点的两面投影,求作其第三面投影? 解 给出点的两个投影,则点的三个坐标就完全确定了,因而点的第三投影必能唯一作出; 或者根据点的投影规律,按照第三投影与已知两投影的关系,也能唯一求出,如图3 - 13a?b?c 所示? 七?两点的相对位置 两点的相对位置是以一点为基准,判别其他点相对于这一点的左右?高低?前后位置关系? ·52 · ----------------------- page 9----------------------- 图3- 12 由点的坐标画出点的三面投影 图3- 13 由两投影求第三投影 ·53 · ----------------------- page 10----------------------- 在三投影面体系中,两点的相对位置是由两点的坐标差决定的?如图3 - 14所示,已知空间 两点a(x ,y ,z )和 b(x ,y ,z )?a?b 两点的左右位置,由x 坐标差(x - x )决定,由于x a a a b b b a b a > x ,因此a 点在左,b 点在右;a?b 两点的前后位置,由y 坐标差(y - y )决定,由于y > y , b b a b a 因此b 点在前,a 点在后;a?b 两点的上下位置,由z 坐标差(zb - za )决定,由于zb > za ,因此b 点在上,a 点在下?概括地说,就是b 点在a 点的右?前?上方? 图3- 14 两点的相对位置 八?重影点的投影 当空间两点的某两个坐标值相同时,该两点处于某一投影面的同一投射线上,则这两点对该 投影面的投影重合于一点,称为对该投影面的重影点?空间两点的同面投影(同一投影面上的投 影)重合于一点的性质,称为重影性? 重影点有可见性问题?在投影图上,如果两个点的同面投影重合,则对重合投影所在投影面 的距离(即对该投影面的坐标值)较大的那个点是可见的,而另一点是不可见的,加圆括号表示, 如(a )?(b)?(c ),? 如图3 - 15所示,e?f 两点的正面投影e 和f 重影成一点,即x = x ,z = z ;但e 在f 的前 e f e f 图3- 15 重影点的投影 ·54 · ----------------------- page 11----------------------- 边,即y > y ,这说明点e 在点f 的正前方?所以对 v 面来说,e 是可见的,用e 表示,f 是不 e f 可见的,用(f )表示? 第四节 直线的投影 直线的投影应包括无限长直线的投影和直线线段的投影,本书提到的“直线”仅指后者,即讨 论直线线段的投影? 一?直线 根据“两点决定一直线”的几何定理,在绘制直线的投影图时,只要作出直线上任意两点的投 影,再将两点的同面投影连接起来,即得到直线的三面投影? 如图3 - 16a?b 所示,直线上两点a?b 的投影分别为a?a ?a 及b?b ?b ?将水平面投影 a? b 相连,便得到直线ab 的水平面投影ab;同样可以得到直线的正面投影a b 和直线的侧面投影 ? a b (图3 - 16c) 图3- 16 直线的三面投影 二?直线的投影特性 直线相对投影面的位置,有以下三种情况: 1。
直线倾斜于投影面 如图3 - 17a 所示,直线ab 在水平投影面上的投影ab 长度一定比ab 长度要短,这种性质叫 作收缩性? 图3- 17 直线的投影特性 ·55 · ----------------------- page 12----------------------- 2。
直线平行于投影面 如图3 - 17b所示,直线ab 在水平投影面上的投影ab 长度一定等于ab 的实长,这种性质叫 作真实性? 3。 直线垂直于投影面 如图3 - 17c所示,直线ab 在水平投影面上的投影ab 一定重合成一点,这种性质叫作积聚 性? 根据上述三种情况,将直线的投影特性简单归纳为: 直线倾斜于投影面,投影变短线? 直线平行于投影面,投影实长现? 直线垂直于投影面,投影聚一点? 三?直线在三投影面体系中的投影特性 在三投影面体系中,直线相对于投影面的位置可分以下三类: (1)一般位置直线 这类直线对三个投影面均处于倾斜位置; (2)投影面平行线 这类直线平行于一个投影面,而与另外两个投影面倾斜; (3)投影面垂直线 这类直线垂直于一个投影面,而平行于另外两个投影面? 后两类直线又称特殊位置直线?下面分别讨论这三类直线的投影特性? 1。
一般位置直线 一般位置直线(如图3 - 18所示四棱台的四条棱线)的投影特性是: (1)在三个投影面上的投影均是倾斜直线; (2)投影长度均小于实长?。收起
