如图直线l经过⊙O的圆心O
如图：直线l经过⊙O的圆心O，且与圆⊙O交于A、B两点，点C在圆⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直如图：直线l经过⊙O的圆心O，且与圆⊙O交于A、B两点，点C在圆⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q。
问；
（1）是否存在点P，使得PQ=QO。 （存在或不存在）
（2）若存在，满足上述条件的点有几个？并求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由。
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如图：直线l经过⊙O的圆心O，且与圆⊙O交于A、B两点，点C在圆⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q。问；
（1）是否存在点P，使得PQ=QO。
（存在或不存在）
（2）若存在，满足上述条件的点有几个？并求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由。
如图
①当点P位于线段AB上时【点P1】：
设∠OCP1=α
则，∠CP1A=∠OCP1+∠AOC=α+30°
所以，∠Q1P1O=∠CP1A=α+30°
因为P1Q1=Q1O
所以，∠Q1OP1=∠Q1P1O=α+30°
连接AC
则，∠ACQ1=(1/2)∠AOQ1=(1/2)*(α+30°)
所以，∠ACO=∠ACQ1+∠OCQ1=(1/2)*(α+30°)+α=(3/2)α+15°
而在△OAC中，OC=OA=r
所以，∠OAC=∠ACO
所以：2*[(3/2)α+15°]+30°=180°
所以，α=40°
即，∠OCP1=40°
②当点P在BA延长线时【点P2】
设∠OCQ2=β，则∠OCP2=180°-β
因为OC=OQ2
所以，∠OQ2C=∠OCQ2=β
那么，∠COQ2=180°-2β
那么，∠P2OQ2=∠P2OC+∠COQ2=30°+(180°-2β)=210°-2β
因为P2Q2=OQ2
所以，∠Q2P2O=∠P2OQ2=210°-2β
所以，在△P2OQ2中有：2*(210°-2β)+β=180°
则，β=80°
那么，∠OCP2=180°-β=100°
③当点P在AB延长线上时【点P3】
设∠OP3Q3=γ
因为P3Q3=OQ3
所以，∠P3OQ3=∠OP3Q3=γ
那么，∠OQ3C=∠P3OQ3+∠OP3Q3=2γ
又，OC=OQ3
所以，∠OCP3=∠OQ3C=2γ
而，∠OCP3+∠OP3C=∠AOC=30°
即，2γ+γ=30°
所以，γ=10°
则，∠OCP3=2γ=20°。
综上，满足条件的点P有上述3个。
类似问题换一批
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