不查表求值:[1+cos(π/5)][1+cos(3π/5)].
∵cos(π/5)+cos(3π/5)=sin(2π/5)/[2sin(π/5)]+[sin(4π/5)-sin(2π/5)]/[2sin(π/5)]=1/2
∴[1+cos(π/5)][1+cos(3π/5)]
=1+cos(π/5)+cos(3π/5)+cos(π/5)cos(3π/5)
=1+1/2+[cos(4π/5)+cos(2π/5)]/2
=3/2+[-cos(π/5)-cos(3π/5)]/2
=5/4。
解:
设原式=A,则
A=1+cos(π/5)+cos(3π/5)+cos(π/5)cos(3π/5)
令θ=π/5,则2θ=π-3θ,于是
cos2θ+cos3θ=0
→4(cosθ)^3+2(cosθ)^2-3cosθ-1=0
→(cosθ+1)[4(cosθ)^2-2cosθ-1)=0。
∵cosθ+1不=0,
∴4(cosθ)^2-2cosθ-1=0。
即cos(π/5)是4x^2-2x-1=0的一根。
同理可证,cos(3π/5)也是4x^2-2x-1=0的一根。
依韦达定理得
cos(π/5)+cos(3π/5)=1/2,cos(π/5)cos(3π/5)=-1/4。
代回所设,得A=5/4。
∴[1+cos(π/5)][1+cos(3π/5)]=5/4。
先求证:sin18°=(√5-1)/4。
∵ sin36°=cos54°---->2sin18°cos18°=4cos³18°-3cos18°,
∴ 2sin18°=4(1-sin²18°)-3,4sin²18°+2sin18°-1,
∴ sin18°=(√5-1)/4。
于是原式=(1+cos36°)(1+cos108°)=(1+cos36°)(1-sin18°)
=1+cos36°-sin18°-cos36°sin18°
=1+cos36°-sin18°-0。
5(sin54°-sin18°)
=1+0。5(1-2sin²18°)-0。 5sin18°
=1。5-sin²18°-0。5sin18°,把sin18°的值代入,得
原式=5/4。