如图,已知二次函数y=ax^2+bx的图像开口向下,与x轴的一个交点为B,顶点A在直线y=x上,O为原点坐标(1)证明 三角形AOB为等腰直角三角形(2)若三角形AOB的外接圆C的半径为1,求该二次函数解析式(3)对题(2)中所求的二次函数,在其图像上是否存在点P(点P与点A不重合)使得三角形POC是以PC为腰的等腰三角形,若存在 求出点P
如图,已知二次函数y=ax^2+bx的图像开口向下,与x轴的一个交点为B,顶点A在直线y=x上,O为原点坐标
(1)证明 三角形AOB为等腰直角三角形
y=ax^2+bx=ax*[x+(b/a)]=0
===> x1=0,x2=-b/a
则它与x轴的交点为原点O(0,0),B(-b/a,0)
其顶点为A(-b/2a,-b^2/4a)
已知顶点A在直线y=x上,所以:-b/2a=-b^2/4a
===> 2ab^2=4ab
===> b=2
所以,顶点A(-1/a,-1/a),B(-2/a,0)
则:
OA^2=(-1/a-0)^2+(-1/a-0)^2=2/a^2
AB^2=(-1/a+2/a)^2+(-1/a-0)^2=2/a^2
OB^2=(-2/a)^2=4/a^2
所以,OA^2+AB^2=0B^2,且OA=AB
故,△AOB为等腰直角三角形
(2)若三角形AOB的外接圆C的半径为1,求该二次函数解析式
由(1)知,△AOB为等腰直角三角形,且OB为斜边
那么,△AOB的外接圆就是以OB为直径,以OB中点C为圆心
则,CO=CA=CB=-1/a=1
所以,a=-1
由(1)有b=2
所以,抛物线解析式为:y=-x^2+2x
(3)对题(2)中所求的二次函数,在其图像上是否存在点P(点P与点A不重合)使得三角形POC是以PC为腰的等腰三角形,若存在 求出点P
由(2)知,点C(1,0)
假设抛物线上存在点P,使得△POC是以PC为腰的等腰直角三角形
则:
①PC⊥CO【此时点P就与点A重合,不符合题意】,或者:
②PC⊥PO
此时△POC是以OC为斜边的等腰直角三角形
则,点P在OC的垂直平分线上,所以点P的横坐标为x=1/2
已知点P在抛物线上,所以,y=-(1/2)^2+2*(1/2)=3/4
即,点P(1/2,3/4)
此时,PC^2=PO^2=(1/2)^2+(3/4)^2=13/16
而,OC^2=1
所以,PC^2+PO^2≠OC^2
故,抛物线上不存在点P使得△POC是以PC为腰的等腰直角三角形。
。
解:(1) ∵ ∴
∵A在y=x上,
∴可设A(m,m)
过点A作AD⊥x轴,交x轴于D
∴ A是二次函数的顶点
∴ 直线AD是其对称轴
∴点D是OB的中点
∴ OD=DB=AD=m
∴△AOB是等腰直角三角形。
(2)若△AOB的外接圆半径为1,
即C、D两点重合
∴ OC=CA=CB=1
∴ A(1,1) B(2,0)
设抛物线为y=a(x-1)^2+1
将B代入a=-1
∴y=-(x-1)^2+1
(3)存在
等腰三角形只能以OP,CP为腰,此时P点在CO的垂直平分线上,所以P点的横坐标为1/2
代入y=-(x-1)^2+1
得y=-[(1/2)-1]^2+1
解得:y=3/4
∴ P点的坐标为(1/2,3/4)
。
忠告:几何问题,不管懂不懂,先尝试画图。
依题意,
(1)当x=0时,y=0,所以该函数必定经过原点;开口向下,且顶点在直线y=x上,若顶点A为原点,则与x轴只有一个交点,不构成三角形,故其对称轴必定在y轴右侧。
画图(省略):过A点作AD_|_x轴于D点,有AD=OD=BD,……所以三角形AOB为等腰直角三角形。
(2)因AD=OD=BD,所以圆心C即为D,即A(0,0)、B(0,2)C(0,1),
所以y=x *(x-2)
(3)通过画图即可知不存在。
(除外P与A重叠)。假设存在P点(设CP与x轴的夹角为θ),其纵坐标为±sinθ,比较y值与±sinθ的大小关系即可(注意:±sinθ<1),若两者不相等即不存在。