求函数y=(sinx)^3*sin3x的最大值.

全部回答

2010-06-26

0 0

解: 变形后利用三元均值不等式: y=(sinx)^3sin3x =(sinx)^2(sinxsin3x) =(1-cos2x)/2*(-1/2)*(cos4x-cos2x) =-1/4*(1-cos2x)[2(cos2x)^2-1-cos2x] =-1/4*(1-cos2x)(2cos2x+1)(cos2x-1) =1/4*(1-cos2x)(2cos2x+1)(1-cos2x) =<1/4*[((1-cos2x)+(2cos2x+1)+(1-cos2x))/3]^3 =1/4 可见,当且仅当1-cos2x=2cos2x+1, 即cos2x=0时,y|max=1/4。
。

提交

山***

2010-06-26

64 0

令 u=(sinx)^2，则根据三倍角公式及均值不等式有 y=[(sinx)^3]*sin3x=[(sinx)^3]*[3sinx-4(sinx)^3] =[(sinx)^4][3-4(sinx)^2] =(2u)(2u)(3-4u)/4 ≤【[(2u)+(2u)+(3-4u)]/3】/4 =1/4。
在 2u=2u=3-4u 时，即 u=1/2，也就是(sinx)^2=1/2，x=(2n+1)π/4 时，y 取得最大值 1/4 。

提交