一道关于函数的性质的题目
求函数f(x)=ax/(x^2+1) (a≠0) 在[0,|a|]上的值域。请写出简略过程哦。
全部回答
求函数f(x)=ax/(x^2+1) (a≠0) 在[0,|a|]上的值域。
已知f(x)=ax/(x^2+1)（a≠0）
所以，f(-x)=a(-x)/[(-x)^2+1]=-ax/(x^2+1)=-f(x)
所以，f(x)为奇函数，图像关于原点对称
①当a＞0时，f(x)=ax/(x^2+1)，图像位于一、三象限
f(x)=ax/(x^2+1)=a/[x+(1/x)]
因为当x＞0时有：x+(1/x)≥2√[x*(1/x)]=2，当且仅当x=1时取等号
且，当x＞1时函数g(x)=x+(1/x)递增，则f(x)递减；当0＜x＜1时，函数g(x)=x+(1/x)递减，则f(x)递增。
故对于区间[0,|a|]而言： (i)若0＜a≤1，f(x)递增。那么f(x)|min=f(0)=0，f(x)|max=f(a)=a^2/(a^2+1) (ii)若a＞1，则在区间[0,1]上f(x)递增，且f(x)|min=f(0)=0，f(x)|max=f(1)=a/2；在区间[1,a]上f(x)递减，此时f(x)|min=f(a)=a^2/(a^2+1)，f(x)|max=f(1)=a/2 所以： 当0＜a≤1时，f(x)∈[0,a^2/(a^2+1)]； 当a＞1时，f(x)∈[0,a/2]。
同理， 当-1≤a＜0时，f(x)∈[-a^2/(a^2+1),0]； 当a＜-1时，f(x)∈[a/2,0]。
故对于区间[0,|a|]而言： (i)若0＜a≤1，f(x)递增。那么f(x)|min=f(0)=0，f(x)|max=f(a)=a^2/(a^2+1) (ii)若a＞1，则在区间[0,1]上f(x)递增，且f(x)|min=f(0)=0，f(x)|max=f(1)=a/2；在区间[1,a]上f(x)递减，此时f(x)|min=f(a)=a^2/(a^2+1)，f(x)|max=f(1)=a/2 所以： 当0＜a≤1时，f(x)∈[0,a^2/(a^2+1)]； 当a＞1时，f(x)∈[0,a/2]。
同理， 当-1≤a＜0时，f(x)∈[-a^2/(a^2+1),0]； 当a＜-1时，f(x)∈[a/2,0]。
热点推荐
热度TOP
-
为什么说向你借钱的男人不能嫁?
12158人阅读
-
早泄患者如果不及时治疗会有什么危害？
3人阅读
-
牙齿感觉有电一样是怎么回？
63人阅读
-
泉州哪家男科好？
100人阅读
-
徐州华美吸脂怎么样？
39人阅读
-
医院的任务是什么？
195人阅读
相关推荐
加载中...