已知正方形ABCD的边长为2,点P是对角线上一点,则向量(AP+BD)*(PB+PD)的最大值
解:建立坐标系。
设A坐标(0,2),B(0,0),C(2,0),D(2,2)
P坐标是( x,y),有x+y=2。
(0<=x<=2)
向量AP=(x,y-2),BD=(2,2),PB=(-x,-y),PD=(2-x,2-y)
那么向量AP+BD=(x,y-2)+(2,2)=(x+2,y)
向量PB+PD=(-x,-y)+(2-x,2-y)=(2-2x,2-2y)
故(AP+BD)·(PB+PD)=(x+2,y)·(2-2x,2-2y)=(x+2)(2-2x)+y(2-2y)
=2x-2x^2+4-4x+2y-2y^2
=-2x^2-2x+4+2(2-x)-2(2-x)^2
=-2x^2-2x+4+4-2x-2(4-4x+x^2)
=-4x^2+4x
=-4(x^2-x)
=-4(x-1/2)^2+1
由于0<=x<=2,故当x=1/2时,原式取得最大值是1。
即所求最大值是1。