一道数学母函数的问题
我写的简略一点希望不要介意。
首先，我们有：
1，1/(1-x)^(n+1)=ΣC(k,n+k)x^k,(直接展开就可以得到，也可以归纳法证明），
注：假设你没学过微积分，用数学归纳法给以证明：
首先n=0,1/(1-x)=Σx^k,成立，(用等比数列对右边求和）
然后 假设n=m成立，
n=m+1时,1/(1-x)^(m+2)=1/(1-x)^(m+1)*1/(1-x)
=[ΣC(k,m+k)x^k][Σx^k]
展开，求x^k系数，利用组合数的性质，立得：
=ΣC(k,m+1+k)x^k
2，1/(1-2x)=Σ2^kx^k，
1/(1-x)=Σx^k中把x换成2x
以这两个为母函数。...全部
我写的简略一点希望不要介意。
首先，我们有：
1，1/(1-x)^(n+1)=ΣC(k,n+k)x^k,(直接展开就可以得到，也可以归纳法证明），
注：假设你没学过微积分，用数学归纳法给以证明：
首先n=0,1/(1-x)=Σx^k,成立，(用等比数列对右边求和）
然后 假设n=m成立，
n=m+1时,1/(1-x)^(m+2)=1/(1-x)^(m+1)*1/(1-x)
=[ΣC(k,m+k)x^k][Σx^k]
展开，求x^k系数，利用组合数的性质，立得：
=ΣC(k,m+1+k)x^k
2，1/(1-2x)=Σ2^kx^k，
1/(1-x)=Σx^k中把x换成2x
以这两个为母函数。
然后，原式变形：（把1006用n代,更一般）
S=ΣC(k,n+k)/2^(n+k)
=2^(-2n)*ΣC(k,n+k)*2^(n-k)
ΣC(k,n+k)*2^(n-k)是1/[(1-x)^(n+1)*(1-2x)]的x^n系数。
设1/[(1-x)^m*(1-2x)]的x^n系数是am,a0=2^n
1/[(1-x)^(m+1)*(1-2x)]=1/(1-x)^m*[2/(1-2x)-1/(1-x)]
=2/[(1-x)^m*(1-2x)]-1/(1-x)^(m+1)
∴a(m+1)=2am-C(m,n+m))
∴a(m+1)=2^(m+1)a0-2^mC(0,n+0)-2^(m-1)C(1,n+1)-……
-C(m,n+m)=2^(n+m+1)-ΣC(k,n+k)*2^(m-k)
∴S=a(n+1)/2^2n=2-ΣC(k,n+k)/2^(n+k)=2-S
∴S=1。
收起
