试讨论下面级数的收敛性:∑{1≤k≤infinite}[cos(ln n)/n]
《吉米多维奇习题集》第2688题与此题类似,不过比此题要简单些,它的分子是(-1)^[lnn],如果本题的分子是cos([lnn]π)就是那个题目了。 我的解答如下:
详细过程如下:
用柯西准则判别级数发散。
反证法,设级数收敛。
1。
则对于
ε=1/(4√2){π/2-ln2}>0 ,存在N>0,
当任意s>N,m>0时,
|∑{s≤n≤s+m}(cos(ln n)/n)|≤ε=1/(4√2){π/2-ln2}。
2。
设A(k)={n,整数n满足:-π/4+2πk≤lnn≤2πk+π/4 }=
={n,整数n满足:e^{-π/4+2πk}≤n≤e^{2πk+π/4}}=
={n,整数n满足:[e^{-π/4+2πk}]+1≤n≤[e^{2πk+π/4}]}=
而k>1时,a(k)=e^{2πk+π/4}- e^{-π/4+2πk}=
=e^(2πk)(e^(π/4)-e^(-π/4))>3
所以A(k)不空。
3。
可取,e^{-π/4+2πk}>N+1,
==>
ε=1/(4√2){π/2-ln2}≥
≥∑{n∈A(k)}(cos(ln n)/n)≥
≥(1/√2)∑{n∈A(k)}(1/n)≥
≥(1/√2)∫{[e^{-π/4+2πk}]+1→[e^{2πk+π/4}]+1}dx/x≥
≥(1/√2){lne^{2πk+π/4}-ln{e^(-π/4+2πk)+2}=
=(1/√2){2πk+π/4-(2πk-π/4)-ln{1+e^(π/4-2πk)2}≥
≥(1/√2){π/2-ln2},
其中取e^(π/4-2πk)2≤1。
==》
1/(4√2){π/2-ln2}≥(1/√2){π/2-ln2}矛盾,
所以级数发散。
。