一道初二梯形题
已知P是等腰梯形ABCD的底边上任意一点，PM垂直AB，PN垂直DC，且M,N均在梯形的腰上
求证：PM+PN为定值
题目不是很严密。至少应该告诉等腰梯形的上、下底以及腰的长度（这样就确定了等腰梯形的形状及大小），然后在此基础上才能说PM+PN为定值
如图
等腰梯形ABCD的上底AB=a，下底CD=b，两腰AD=BC=c
点P为BC上任意一点，过点P作AD的垂线，垂足为M；过点P作BC的垂线，垂足为N。
求证：PM+PN为定值
过点A作下底BC的垂线，垂足为E；连接PA、PD
则，AE为等腰梯形ABCD的高
很明显，BE=(BC-AD)/2=(b-a)/2
那么，在Rt△AEB中，由勾...全部
已知P是等腰梯形ABCD的底边上任意一点，PM垂直AB，PN垂直DC，且M,N均在梯形的腰上
求证：PM+PN为定值
题目不是很严密。至少应该告诉等腰梯形的上、下底以及腰的长度（这样就确定了等腰梯形的形状及大小），然后在此基础上才能说PM+PN为定值
如图
等腰梯形ABCD的上底AB=a，下底CD=b，两腰AD=BC=c
点P为BC上任意一点，过点P作AD的垂线，垂足为M；过点P作BC的垂线，垂足为N。
求证：PM+PN为定值
过点A作下底BC的垂线，垂足为E；连接PA、PD
则，AE为等腰梯形ABCD的高
很明显，BE=(BC-AD)/2=(b-a)/2
那么，在Rt△AEB中，由勾股定理有：AE^2=AB^2-BE^2
即：AE^2=c^2-[(b-a)/2]^2
所以：AE=√{c^2-[(b-a)/2]^2}=√[4c^2-(b-a)^2]/2
=√(2c+b-a)(2c-b+a)/2
那么，等腰梯形ABCD的面积S=(AD+BC)*AE/2=(a+b)*√(2c+b-a)(2c-b+a)/4
而，等腰梯形ABCD的面积S=S△PAB+S△PAD+S△PCD
其中：
S△PAB=(1/2)AB*PM=(1/2)*c*PM
S△PAD=(1/2)AD*AE=(1/4)*a*√(2c+b-a)(2c-b+a)
S△PCD=(1/2)CD*PN=(1/2)*c*PN
所以：
(1/2)*(PM+PN)*c+(1/4)*a*√(2c+b-a)(2c-b+a)=(1/4)*(a+b)*√(2c+b-a)(2c-b+a)
===> (1/2)*(PM+PN)*c=(1/4)*b*√(2c+b-a)(2c-b+a)
===> PM+PN=[b*√(2c+b-a)(2c-b+a)]/(2c)
可见，无论P点在BC上何位置，PM+PN的值是一个定值。
收起
