在ΔABC中,己知∠A:∠B:∠C=1:2:4,AD⊥BC,BE⊥CA,CF⊥AB,分别交BC,CA,AB于D,E,F,记ΔABC的面积为S,求ΔDEF的面积。
∵∠A:∠B:∠C=1:2:4
∴∠A=π/7,∠B=2π/7,∠C=4π/7
∵AD⊥BC,CF⊥AB
∴A,D,C,F四点共圆
∴∠CDF=∠CAF=π/7
∵AD⊥BC,BE⊥CA
∴A,D,E,B四点共圆
∴∠EDB=∠EAB=π/7
∴∠EFD=∠CDF+∠EDB=2π/7
同理可得:∠DEF=4π/7
∴△DEF∽△BCA
∵AD⊥BC
∴∠DAB=π/2-∠ABC=3π/14,∠DAC=∠DAB-∠CAB=π/14
∵A。
D。C。
F共圆,∴∠DFC=∠DAC=π/14
∴∠DFA=3π/7
取AB中点M,连DM,则DM=1/2AB
∠DMF=2∠DAB=3π/7=∠DFA
∴DF=DM=1/2AB
∴DF/AB=1/2
∴S△DEF/S=(DF/AB)^2=1/4
∴S△DEF=S/4
。
解 因为∠A:∠B:∠C=1:2:4,
所以∠A=π/7,∠B=2π/7,∠C=4π/7,
即∠C为钝角,故D在BC的延长线上,E在AC的延长线上。
连DE,EF,FD,AD与BE交于H。
[可证C点是ΔHBC的垂心又是ΔDEF的内心,H是ΔABC的垂心]
因为∠CAD=π/2-(π-∠BCA)=π/14,
∠CBE=π/2-(π-∠BCA)= π/14。
又A,D,C,F四点共圆,
即∠CAD=∠CFD;B,E,C,F四点共圆,即∠CBE=∠CFE,
所以∠DFE=∠CFD+∠CFE=π/14+π/14=π/7=∠A。
同理可证: ∠FDE=∠B,∠DEF=∠C。
因此ΔABC∽ΔDEF。
因为ΔDEF的外接圆就是ΔABC的九点圆,
所以ΔDEF的外接圆半径:ΔABC的外接圆半径=1:2
因此S’/S=(1/2)^2=1/4。
。