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一道初二几何证明题

写出“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题,并证明它是一个真命题 要有详细过程,谢谢!

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2009-05-17

0 0

    这是经典问题,证明方法有很多种,对于初二而言, 下面的反证法应该可以接受 如图,已知BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD=CE,求证:AB=AC 证明: BD平分∠ABC==>BE/AE=BC/AC==>BE/AB=BC/(BC+AC) ==>BE=AB*BC/(BC+AC) 同理:CD=AC*BC/(BC+AB) 假设AB≠AC,不妨设AB>AC。
    。。。。(*) AB>AC==>BC+ACAC*BC ==>AB*AB/(BC+AC)>AC*BC/(BC+AB) ==>BE>CD AB>AC==>∠ACB>∠ABC ∠BEC=∠A+∠ACB/2,∠BDC=∠A+∠ABC/2 ==>∠BEC>∠BDC 过B作CE平行线,过C作AB平行线,交于F,连DF 则BECF为平行四边形==>∠BFC=∠BEC>∠BDC。
    。。。。(1) BF=CE=BD==>∠BDF=∠BFD CF=BE>CD==>∠CDF>∠CFD ==>∠BDF+∠CDF>∠BFD+∠CFD==>∠BDC>∠BFC。
  。。(2) (1)(2)矛盾,从而假设(*)不成立 所以AB=AC 。

2009-05-19

93 0

    任意一个的三角形,若其中有两个角的角平分线相等,则这个三角形为等腰三角形。 证明: 任意△ABC,分别做三个角的角平分线,BE 、CD、 AH,相交与一点O,O为三角形的内切圆圆心,即O点到三边的距离相等 不失一般性,设BE=CD 过O点向AB 、AC做垂线,垂足为G2 、G1 ∵AH为∠A的角平分线 ∴G1 、G2关于AH对称(角平分线性质) 不失一般性,设OD<OC 、OE<OB 假设OD≠OE ,则BO≠CO 不是一般性,设OD<OE,OB<OC ∵AO是∠A的角平分线,∴D点关于AO的对称点D1在AC上 连接OD1 ∵OD<OE ∴OD1<OE ∴D1G1<EG1 即AD1>AE 延长OD1交于一点C1 ,则C1是C点关于AO的对称点 根据对称性可知OC1<OB 。
    。。。① ∵CD=BE OD<OE ∴OB<OC1与①相矛盾 ∴假设不成立,即OD=OE BO=CO (用边角边证明三角形全等,即可得证△ABC为等腰三角形。
  

2009-05-16

91 0

  两地角的平分线相等,为等腰三角形 作三角形ABC,CD,BE为角C,B的角平分线,交于AB,BE。两平分线交点为O 连结DE,即DE平行BC,所以三角形DOC与COB相似。
   有DO/DC=EO/EB,又EB=DC所以DO=EO,三角形COB为等腰 又角ODE=OCB=OED=OBC 又因为BE和DC是叫平分线,所以容易得出角C=角B(这个打出来太麻烦了),即ABC为等腰。

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