数学三角函数

数学：三角函数已知sinθ=as

已知sinθ=asinφ,tanθ=btanφ,其中θ为锐角，求证： cosθ=√(a^2-1)/(b^2-1) 注：（a^2-1)/(b^2-1)都在根号下 证明： 因为tanθ=sinθ/cosθ=btanφ 所以，sinθ=bcosθtanφ 而：sin^2 θ+cos^2 θ=1 所以：(bcosθtanφ)^2+cos^2 θ=1 ===> b^2*cos^2 θ*tan^2 φ+cos^2 θ=1 ===> cos^2 θ*(b^2*tan^2 φ+1)=1 ===> cos^2 θ=1/(b^2*tan^2 φ+1) ===> cos^2 θ=1/[b^2*(sin^2 φ/...全部

  已知sinθ=asinφ,tanθ=btanφ,其中θ为锐角，求证： cosθ=√(a^2-1)/(b^2-1) 注：（a^2-1)/(b^2-1)都在根号下 证明： 因为tanθ=sinθ/cosθ=btanφ 所以，sinθ=bcosθtanφ 而：sin^2 θ+cos^2 θ=1 所以：(bcosθtanφ)^2+cos^2 θ=1 ===> b^2*cos^2 θ*tan^2 φ+cos^2 θ=1 ===> cos^2 θ*(b^2*tan^2 φ+1)=1 ===> cos^2 θ=1/(b^2*tan^2 φ+1) ===> cos^2 θ=1/[b^2*(sin^2 φ/cos^2 φ)+1]……………（1） 又，sinθ=asinφ 所以，sin^2 θ=a^2*sin^2 φ 所以：cos^2 θ=1-sin^2 θ=1-a^2*sin^2 φ 所以，sin^2 φ=(1-cos^2 θ)/a^2 则，cos^2 φ=1-sin^2 φ=(a^2-1+cos^2 θ)/a^2 代入(1)得到： cos^2 θ=1/{b^2*[(1-cos^2 θ)/a^2]/[(a^2-1+cos^2 θ)/a^2]+1} ===> cos^2 θ=1/[b^2*(1-cos^2 θ)/(a^2-1+cos^2 θ)+1] ===> cos^2 θ=1/[(b^2-b^2*cos^2 θ+a^2-1+cos^2 θ)/(a^2-1+cos^2 θ)] ===> cos^2 θ=(a^2-1+cos^2 θ)/[(a^2+b^2-1)+(1-b^2)cos^2 θ] ===> (1-b^2)cos^4 θ+(a^2+b^2-1)cos^2 θ=a^2-1+cos^2 θ ===> (1-b^2)cos^4 θ+(a^2+b^2-2)cos^2 θ+(1-a^2)=0 ===> [(1-b^2)cos^2 θ-(1-a^2)]*[cos^2 θ-1]=0 因为θ为锐角 所以，0＜cosθ＜1 所以，0＜cos^2 θ＜1 所以，[(1-b^2)cos^2 θ-(1-a^2)]=0 则，cos^2 θ=(1-a^2)/(1-b^2)=(a^2-1)/(b^2-1) 所以，cosθ=√(a^2-1)/(b^2-1)。
  收起