长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2a,AA1=a,E.H分别是A1B1和BB1的中点,求EH与AD1所成的角的余弦值!
EH//D1C 即求角AD1C的余弦 在三角形AD1C中,AD1=根号5a=CD1,AC=2根号2a cos角AD1C=。。。。
长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2a,AA1=a,E。H分别是A1B1和BB1的中点,求EH与AD1所成的角的余弦值!
如图
延长BB1至点G,使得B1G=BB1/2=a/2;延长CC1至点F,使得C1F=CC1/2=a/2。
连接FG、EG、HF、EF
则,AD1//=HF
所以,∠EHF即为EH与AD1所成的角
因为FG//=B1C1
所以,四边形FGB1C1为矩形
所以,FG⊥面ABGA1
所以,FG⊥EG
在Rt△EB1H中,由勾股定理有:EH^2=EB1^2+HB1^2=a^2+(a/2)^2=5a^2/4
在Rt△AA1D中,AD1^2=AA1^2+A1D1^2=a^2+(2a)^2=5a^2
所以,HF^2=AD1^2=5a^2
在Rt△EB1G中,EG^2=EB1^2+B1G^2=a^2+(a/2)^2=5a^2/4
在Rt△FGE中,EF^2=EG^2+FG^2=(5a^2/4)+(2a)^2=21a^2/4
所以,在△EFH中,由余弦定理有:
cos∠EHF=(EH^2+HF^2-EF^2)/(2*EH*HF)=[(5a^2/4)+5a^2-(21a^2/4)]/[2*(√5a/2)*(√5a)]=(a^2)/(5a^2)=1/5
所以,EH与AD1所成的角的余弦值为1/5。
给个图呀!!!!!!!!!!!!!!!