求三角形内心与垂心之距公式证明
设R,r,s分别表示△ABC的外接圆半径,内切圆半径和半周长,a,b,c为其边长。内心I和垂心H。
∵AI=√[bc(s-a)/s],AH=2RcosB,∠IAH=|B-C|/2。
由余弦定理得
HI^2=bc(s-a)/s+4R^2*(cosA)^2-4R*cosA*√[bc(s-a)/s]*cos[(B-C)/2]
=bc(s-a)/s+4R^2-a^2-4R*cosA*√[bc(s-a)/s]*(b+c)*√[(s-b)(s-c)]/(a√bc)
=bc(s-a)/s+4R^2-a^2-(b+c)(b^2+c^2-a^2)/(2s)
=4R^2-(abc+a^3+b^3+c^3)/(a+b+c)
=4r^2+4Rr+3r^2-s^2。