已知正四棱锥相邻两侧面的夹角是120o，
已知正四棱锥相邻两侧面的夹角是120o，它的底面边长为a，求棱锥的高、斜高和侧棱长。
如图
正四棱锥P-ABCD的底面边长为a，两个相邻侧面之间的夹角为120°。 求棱锥的高h，斜高h'，侧棱长
连接AC、BD，两者相交于点O，连接PO，则PO⊥面ABCD
（这是因为PA=PB=PC=PD，则点P在底面ABCD的投影为ABCD的中心）
过点C作PD的垂线，垂足为E，连接AE
则，AE⊥PD（这是因为Rt△CED≌Rt△AED）
所以，∠AEC即为侧面PDC、PDA所成的角
所以，∠AEC=120°
设CE=AE=x
那么，在等腰△EAC中，由余弦定理有：
CE^2+AE^2-2CE*AE...全部
已知正四棱锥相邻两侧面的夹角是120o，它的底面边长为a，求棱锥的高、斜高和侧棱长。
如图
正四棱锥P-ABCD的底面边长为a，两个相邻侧面之间的夹角为120°。
求棱锥的高h，斜高h'，侧棱长
连接AC、BD，两者相交于点O，连接PO，则PO⊥面ABCD
（这是因为PA=PB=PC=PD，则点P在底面ABCD的投影为ABCD的中心）
过点C作PD的垂线，垂足为E，连接AE
则，AE⊥PD（这是因为Rt△CED≌Rt△AED）
所以，∠AEC即为侧面PDC、PDA所成的角
所以，∠AEC=120°
设CE=AE=x
那么，在等腰△EAC中，由余弦定理有：
CE^2+AE^2-2CE*AE*cos120°=AC^2=2a^2
所以：x^2+x^2-2x^2*(-1/2)=2a^2
即：3x^2=2a^2
所以：x=√6a/3
设棱锥的侧棱长为y，即PA=PB=PC=PD=y
那么，侧面的面积S△PCD=(1/2)PD*CE=(1/2)*y*(√6a/3)
过点P作CB的垂线，垂足为F，连接OF
因为PB=PC
所以，点F为BC中点
而点O为AC中点
所以，OF//AB
所以，OF⊥BC
那么，侧面PBC的面积S=(1/2)*BC*PF=(1/2)*a*PF
则：(1/2)*a*PF=(1/2)*y*(√6a/3)
所以：PF=(√6/3)y…………………………………………（1）
而，在Rt△PFC中，由勾股定理有：PC^2=PF^2+CF^2
即：y^2=(√6y/3)^2+(a/2)^2
所以：y^2=(2/3)y^2+(a^2/4)
所以，y^2=(3/4)a^2
则，y=√3a/2
代入到(1)，就有：PF=(√6/3)y=(√6/3)*(√3/2)a=(√2/2)a
而，在Rt△POF中，由勾股定理有：PF^2=PO^2+OF^2
即：[(√2/2)a]^2=PO^2+(a/2)^2
所以：PO^2=(a^2/2)-(a^2/4)=a^2/4
所以，PO=a/2
综上，在正四棱柱P-ABCD中：
棱锥的高PO=a/2
棱锥的斜高PF=(√2/2)a
棱锥的侧棱长PA=PB=PC=PD=(√3/2)a。收起
