y=x+1/x x>0 与过(0,1)点的直线有两个交点
y=x+1/x(x>0)与过点(0,1)的直线有两个交点,求过两交点的Y=X+1/X的两条
切线交点的轨迹方程。
解:在(0,+∞)区间内,x=1时y=x+1/x获得极小值2。
设过(0,1)的直线L的方程为y=kx+1。
设直线L与所给曲线的两个交点的坐标分别为P1(x1,y1)和P2(x2,y2)。由kx+1=x+1/x,得一元二次方程(k-1)x²+x-1=0,
因为有两个交点,所以其判别式△=1+4(k-1)=4k-3>0,
即k>3/4。 且x1+x2=1/(1-k) x1x2=1/(1-k)。
对y=x+1/x取导数得到它的导函数y'=1-1/x²。
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y=x+1/x(x>0)与过点(0,1)的直线有两个交点,求过两交点的Y=X+1/X的两条
切线交点的轨迹方程。
解:在(0,+∞)区间内,x=1时y=x+1/x获得极小值2。
设过(0,1)的直线L的方程为y=kx+1。
设直线L与所给曲线的两个交点的坐标分别为P1(x1,y1)和P2(x2,y2)。由kx+1=x+1/x,得一元二次方程(k-1)x²+x-1=0,
因为有两个交点,所以其判别式△=1+4(k-1)=4k-3>0,
即k>3/4。
且x1+x2=1/(1-k) x1x2=1/(1-k)。
对y=x+1/x取导数得到它的导函数y'=1-1/x²。
所以过P1和P2的切线方程分别为:y=(1-1/x1²)(x-x1)+y1……(1)
y=(1-1/x2²)(x-x2)+y2……(2)
由这两个切线方程可求出它们的交点的坐标。
令(1-1/x1²)(x-x1)+y1=(1-/x2²)(x-x2)+y2。(注意y1-y2=k(x1-x2)
经过简单的代数变换,可得 x=[x1x2/(x1+x2)][(1-k)x1x2+1]
将x1+x2与x1x2之值代入便得两切线交点的横坐标
x=(1-k)[1/(1-k)+1]=2-k,
再由(1)+(2),化简,并代入x1+x2,x1x2之值,还注意y1+y2=k(x1+x2)+2,及x=2-k,
得2y=(1-1/x1²)(x-x1)+y1+(1-1/x2²)(x-x2)+y2
````=(2-1/x1²-1/x2²)x-x1(1-1/x1²)-x2(1-1/x2²)+y1+y2
````={2-[(x1+x2)²-2x1x2]/(x1x2)²}x-(x1+x2)-(1/x1+1/x2)+y1+y2
````=[1+2/x1x2]x-(x1+x2)-(x1+x2)/x1x2]+k(x1+x2)+2
````=[1+2(1-k)](2-k)-1/(1-k)-1+k/(1-k)+2
````=(3-2k)(2-k)-(1-k)/(1-k)-1+2
````=(3-2k)(2-k)
````=2k²-7k+6。
∴y=k²-(7/2)k+3。将k=2-x代入,便得交点的轨迹方程为
y=(2-x)²-(7/2)(2-x)+3
`=x²-4x+4-7+7x/2+3
`=x²-(1/2)x。
由k>3/4,及x=2-k,得其定义域为0收起
