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36度的正弦值

不用查表或计算器,用几何方法

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2008-09-20

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    解 作黄金△ABC,使∠BAC=36 °,∠ABC=∠ACB=72 °, 令BC=a,AB=AC=b。 过B作∠ABC的角平分线BD,交AC于D。 因为等腰△ABC∽等腰△BCD, 所以BC/CD=AB/BC, 故CD=a^2/b,由此得AD=b-a^2/b=(b^2-a^2)/b。
     因为BC=BD,故a=(b^2-a^2)/b。即得:b^2=a^2+ab 令b/a=t,则t^2-t-1=0,解方程得:t=(√5+1)/2。 故b/a=(√5+1)/2,a/b=(√5-1)/2。
   由正弦定得:sin36 °/sin72 °=a/b=(√5-1)/2。   故得:cos36 °=(√5+1)/4。 因而得: sin36 °=[√(10-2√5)]/4。
   。

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