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正三角形问题-1

正三角形问题设P是正△ABC内部任意一点,过P作BC,CA,AB的垂线,垂足分别为D,E,F。求证:S(PBD)+S(PCE)+S(PAF)=S(ABC)/2。

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2008-07-22

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    过A作AH⊥BC于H 不妨设P在AH左侧,作P关于AH对称点P',则P'在△PCE内部 连PP'交AH于M,过P'作P'Q⊥AC于Q,连AP',CP' △PCE被分成三部分:△P'CQ,梯形PEQP' 1)容易证明△PBF≌△P'CQ,两者面积相等 且有PF=P'Q 2)容易证明PP'∥BC,PM=P'M, S矩形PMHD=S△PP'C 3)容易证明AH=PD+PE+PF,MH=PD ==>AM=PE+PF=PE+P'Q 由△ABC为正三角形,PP'∥BC,PE⊥AC易得∠P'PE=30° 故EQ=1/2*PP'=PM S梯形PEQP'=1/2(PE+P'Q)*EQ=1/2*AM*PM=S△APM 因此S△PBD+S△PCE+S△PAF =S△PBD+(S△PBF+S矩形PMHD+S△APM)+S△PAF =S△ABH =S△ABC/2 。
    。

2008-07-22

62 0

    设P是正△ABC内部任意一点,过P作BC,CA,AB的垂线,垂足分别为D,E,F。 求证:S(PBD)+S(PCE)+S(PAF)=S(ABC)/2。 证明 过P作MN∥ BC交AB,AC于M,N,过B作BQ⊥MN交于Q,过C作CR⊥MN交于R。
  记正△AMN的边长为1,设PM=x,则PN=1-x。  于是 S(PAF)+S(PNE)=(1/2)*(√3/2)*[x(1-x/2)+(1-x)*(1-x)/2] =√3/8=S(AMN)/2。
  
   又Rt△BMQ≌Rt△CNR,所以 S(PBD)+S(PCN)=[S(BDPQ)+S(DCRP)]/2-S(CRN)=S(PCD)+S(BMP)=S(BCNM)/2。   从而 S(PBD)+S(PCE)+S(PAF)=S(PAF)+S(PNE)+S(PBD)+S(PCN) [S(AMN)+S(BCNM)]/2=S(ABC)/2。

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