正三角形问题设P是正△ABC内部任意一点,过P作BC,CA,AB的垂线,垂足分别为D,E,F。求证:S(PBD)+S(PCE)+S(PAF)=S(ABC)/2。
过A作AH⊥BC于H
不妨设P在AH左侧,作P关于AH对称点P',则P'在△PCE内部
连PP'交AH于M,过P'作P'Q⊥AC于Q,连AP',CP'
△PCE被分成三部分:△P'CQ,梯形PEQP'
1)容易证明△PBF≌△P'CQ,两者面积相等
且有PF=P'Q
2)容易证明PP'∥BC,PM=P'M,
S矩形PMHD=S△PP'C
3)容易证明AH=PD+PE+PF,MH=PD
==>AM=PE+PF=PE+P'Q
由△ABC为正三角形,PP'∥BC,PE⊥AC易得∠P'PE=30°
故EQ=1/2*PP'=PM
S梯形PEQP'=1/2(PE+P'Q)*EQ=1/2*AM*PM=S△APM
因此S△PBD+S△PCE+S△PAF
=S△PBD+(S△PBF+S矩形PMHD+S△APM)+S△PAF
=S△ABH
=S△ABC/2
。
。
设P是正△ABC内部任意一点,过P作BC,CA,AB的垂线,垂足分别为D,E,F。
求证:S(PBD)+S(PCE)+S(PAF)=S(ABC)/2。
证明 过P作MN∥ BC交AB,AC于M,N,过B作BQ⊥MN交于Q,过C作CR⊥MN交于R。
记正△AMN的边长为1,设PM=x,则PN=1-x。 于是
S(PAF)+S(PNE)=(1/2)*(√3/2)*[x(1-x/2)+(1-x)*(1-x)/2]
=√3/8=S(AMN)/2。
又Rt△BMQ≌Rt△CNR,所以
S(PBD)+S(PCN)=[S(BDPQ)+S(DCRP)]/2-S(CRN)=S(PCD)+S(BMP)=S(BCNM)/2。
从而 S(PBD)+S(PCE)+S(PAF)=S(PAF)+S(PNE)+S(PBD)+S(PCN)
[S(AMN)+S(BCNM)]/2=S(ABC)/2。