不定方程

又一道关于不定方程的竞赛题解方程

首先，x0时，问题变为：求满足条件的正整数x，使2^x整除3^x-1 即3^x≡1(mod 2^x) 先把几个小解试出 很容易得到x=1,2,4时成立 对应的解(x,y)=(1,1)(2,2)(4,5) 下面我们说明x>4时不成立 我们来考察3^x-1中质因数中2的个数 t代表某个奇数 3^1-1=t*2^1 3^2-1=t*2^3 3^4-1=t*2^4 以下用数学归纳法证明：3^(2^k)-1=t*2^(k+2) k为大于等于2的正整数 当k=2，3*(2^2)-1=80=5*2^(2+2)成立 假设当k=n时成立 3^(2^n)-1=t*2^(n+2) 当k=n+1时 3^(2^(n...全部

  首先，x0时，问题变为：求满足条件的正整数x，使2^x整除3^x-1 即3^x≡1(mod 2^x) 先把几个小解试出 很容易得到x=1,2,4时成立 对应的解(x,y)=(1,1)(2,2)(4,5) 下面我们说明x>4时不成立 我们来考察3^x-1中质因数中2的个数 t代表某个奇数 3^1-1=t*2^1 3^2-1=t*2^3 3^4-1=t*2^4 以下用数学归纳法证明：3^(2^k)-1=t*2^(k+2) k为大于等于2的正整数 当k=2，3*(2^2)-1=80=5*2^(2+2)成立 假设当k=n时成立 3^(2^n)-1=t*2^(n+2) 当k=n+1时 3^(2^(n+1))-1=[3^(2^n)-1][3^(2^n)+1] 其中3^(2^n)-1=t*2^(n+2) 3^(2^n)+1=q*2(q为一奇数) 所以3^(2^(n+1))-1=q*t*2^(n+3)=T*2^(n+3) 成立 所以，结论成立 那么，我们能得到如下结论 对3^x，若x=t*2^n(n>1) 则3^x-1=q*2^(n+2) 要2^(t*2^n)=2^x|3^x-1=q*2^(n+2) t*2^n≤n+2 当n>2时，易证无解 当n=2时，x=4 当n=1时，2^4不整除3^x-1，x=2 当n=0时，2^2不整除3^x-1，x=1 所以仅有x=1,2,4再加上x=0四解 此解有些步骤过简，希望自行研究或提出疑问以便补充。
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