证明由a1,a2,a3,...as的生成空间+由b1,b2,...,bt的生成空间=由a1,a2,a在空间V中,给定向量a1,a2,a3,...as和b1,b2,...,bt,证明由a1,a2,a3,...as的生成空间+由b1,b2,...,bt的生成空间=由a1,a2,a3,...as,b1,b2,...,bt的生成空间可以想到是成立的,就是不会证明!!!
设V1=由 a1,a2,a3,。。。as的生成空间
V2=由b1,b2,。。。,bt的生成空间
V=由a1,a2,a3,。。。as,b1,b2,。。。,bt的生成空间
要证明V1+V2=V
显然V1+V2在V里。
这是因为如果有x\in V1, y\in V2 (x \in U表示x在空间U里面),那么x=k_1a_1+k_2a_2+。 。+k_sa_s, y=l_1b_1+。
。。+l_tb_t, 因此x+y=k_1a_1+k_2a_2+。。+k_sa_s+l_1b_1+。。。+l_tb_t,是a_1,。。a_s,b_1。。。b_t的一个线性组合,因此x+y\in V。
下面证明V包含在V1+V2里面。
对任意一个v\in V。
一定有v=r_1a_1+。。。+r_sa_s+r_(s+1)b_1+。。
。+r_(s+t)b_t
=x+y
这儿x=r_1a_1+。。。+r_sa_s, y=r_(s+1)b_1+。。。+r_(s+t)b_t
所以V1+V2=V。