向量O为三角形ABC的外心,H为
证明:欲证 向量OH=向量OA+向量OB+向量OC
只需证 向量OH-向量OA=向量OB+向量OC
即证 向量AH=2*向量OD D为BC的中点
易得 AH∥OD (想想怎么得来的)
所以只要证 AH=2OD
下面来证明上面那个结论:
连结CH并延长交AB于M,连结BH并延长交AC于N,延长AO交△ABC的外接圆于E,连结BE,CE,BH,CH,连结EH交BC于F,因为H为垂心,所以
CM⊥AB,BN⊥AC,所以∠ABN=∠ACM。
又由AE为圆O的直径得 ∠ABE=ACE=90度
所以∠EBN=∠ECN ------(1)
易知 ∠BAC与∠BEC互为补角
而 ∠BAC又与∠M...全部
证明:欲证 向量OH=向量OA+向量OB+向量OC
只需证 向量OH-向量OA=向量OB+向量OC
即证 向量AH=2*向量OD D为BC的中点
易得 AH∥OD (想想怎么得来的)
所以只要证 AH=2OD
下面来证明上面那个结论:
连结CH并延长交AB于M,连结BH并延长交AC于N,延长AO交△ABC的外接圆于E,连结BE,CE,BH,CH,连结EH交BC于F,因为H为垂心,所以
CM⊥AB,BN⊥AC,所以∠ABN=∠ACM。
又由AE为圆O的直径得 ∠ABE=ACE=90度
所以∠EBN=∠ECN ------(1)
易知 ∠BAC与∠BEC互为补角
而 ∠BAC又与∠MHN互为补角
所以∠BEC=∠MHN=∠BHC ------(2)
由(1)、(2)知四边形BECN为平行四边形
所以F为平行四边形BECM的中心,即D点。
所以ED=DN
又0E=0A
所以OD=1/2AH
即AH=2OD
所以向量OH=向量OA+向量OB+向量OC。
证毕。
。收起