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线性回归方程的公式

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2008-01-25

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    以一简单数据组来说明什么是线性回归。假设有一组数据型态为 y=y(x),其中 x={0, 1, 2, 3, 4, 5}, y={0, 20, 60, 68, 77, 110} 如果我们要以一个最简单的方程式来近似这组数据,则非一阶的线性方程式莫属。
    先将这组数据绘图如下 图中的斜线是我们随意假设一阶线性方程式 y=20x,用以代表这些数据的一个方程式。以下将上述绘图的 MATLAB 指令列出,并计算这个线性方程式的 y 值与原数据 y 值间误差平方的总合。
   >> x=[0 1 2 3 4 5]; >> y=[0 20 60 68 77 110]; >> y1=20*x; % 一阶线性方程式的 y1 值 >> sum_sq = sum(y-y1)。
    ^2); % 误差平方总合为 573 >> axis([-1,6,-20,120]) >> plot(x,y1,x,y,'o'), title('Linear estimate'), grid 如此任意的假设一个线性方程式并无根据,如果换成其它人来设定就可能采用不同的线性方程式;所以我们 须要有比较精确方式决定理想的线性方程式。
    我们可以要求误差平方的总合为最小,做为决定理想的线性方 程式的准则,这样的方法就称为最小平方误差(least squares error)或是线性回归。MATLAB的polyfit函数提供了 从一阶到高阶多项式的回归法,其语法为polyfit(x,y,n),其中x,y为输入数据组n为多项式的阶数,n=1就是一阶 的线性回归法。
    polyfit函数所建立的多项式可以写成 从polyfit函数得到的输出值就是上述的各项系数,以一阶线性回归为例n=1,所以只有 二个输出值。如果指令为coef=polyfit(x,y,n),则coef(1)= , coef(2)=,。
  。。,coef(n+1)= 。  注意上式对n 阶的多 项式会有 n+1 项的系数。我们来看以下的线性回归的示范: >> x=[0 1 2 3 4 5]; >> y=[0 20 60 68 77 110]; >> coef=polyfit(x,y,1); % coef 代表线性回归的二个输出值 >> a0=coef(1); a1=coef(2); >> ybest=a1*x+a0; % 由线性回归产生的一阶方程式 >> sum_sq=sum(y-ybest)。
    ^2); % 误差平方总合为 356。
  82 >> axis([-1,6,-20,120]) >> plot(x,ybest,x,y,'o'), title('Linear regression estimate'), grid 。

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