海林
2012-10-28
请介绍下数学家柯西及柯西不等式
柯西是法国乃至世界著名的多产数学家，于1789年出生于巴黎，共有著作 28卷。他的工作为微积分奠定了基础，促进了数学的极大发展。柯西于1802年入中学。在中学多次竞赛获奖；于1805年考入综合工科学校，主要学习数学和力学；1807年考入桥梁公路学校，1810年以优异成绩毕业，前往瑟堡参加海港建设工程。 柯西去瑟堡时携带了拉格朗日的解析函数论和拉普拉斯的天体力学，后来还陆续收到从巴黎寄出或从当地借得的一些数学书。他在业余时间悉心攻读有关数学各分支方面的书籍，从数论直到天文学方面。柯西于18l3年在巴黎被任命为运河工程的工程师，他在巴黎休养和担任工程师期间，继续潜心研究数学并且参加学术活动。...全部
柯西是法国乃至世界著名的多产数学家，于1789年出生于巴黎，共有著作 28卷。他的工作为微积分奠定了基础，促进了数学的极大发展。柯西于1802年入中学。在中学多次竞赛获奖；于1805年考入综合工科学校，主要学习数学和力学；1807年考入桥梁公路学校，1810年以优异成绩毕业，前往瑟堡参加海港建设工程。
柯西去瑟堡时携带了拉格朗日的解析函数论和拉普拉斯的天体力学，后来还陆续收到从巴黎寄出或从当地借得的一些数学书。他在业余时间悉心攻读有关数学各分支方面的书籍，从数论直到天文学方面。柯西于18l3年在巴黎被任命为运河工程的工程师，他在巴黎休养和担任工程师期间，继续潜心研究数学并且参加学术活动。
主要研究了代换理论，发表了代换理论和群论在历史上的基本论文。充分证明了费马关于多角形数的猜测，即任何正整数是个角形数的和。还用复变函数的积分计算实积分，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点。曾研究液体表面波的传播问题，得到流体力学中的一些经典结果，于1815年得法国科学院数学大奖。
1830年法国爆发了推翻波旁王朝的革命，法王查理第十仓皇逃走，奥尔良公爵路易•菲力浦继任法王。当时规定在法国担任公职必须宣誓对新法王效忠，由于柯西属于拥护波旁王朝的正统派，他拒绝宣誓效忠，并自行离开法国。
他先到瑞士，后于1832～1833年任意大利都灵大学数学物理教授，并参加当地科学院的学术活动。那时他研究了复变函数的级数展开和微分方程(强级数法)，并为此作出重要贡献。具体来说，
单复变函数：柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。
18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，级数与无穷乘积的展开，用含参变量的积分表示微分方程的解等等。
分析基础：柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。自从牛顿和莱布尼茨发明微积分(即无穷小分析，简称分析)以来，这门学科的理论基础是模糊的。为了进一步发展，必须建立严格的理论。
柯西为此首先成功地建立了极限论。在柯西的著作中，没有通行的语言，他的说法看来也不够确切，从而有时也有错误，例如由于没有建立一致连续和一致收敛概念而产生的错误。可是关于微积分的原理，他的概念主要是正确的，其清晰程度是前所未有的。
例如他关于连续函数及其积分的定义是确切的，他首先准确地证明了泰勒公式，他给出了级数收敛的定义和一些判别法。
常微分方程：柯西在分析方面最深刻的贡献在常微分方程领域。他首先证明了方程解的存在和唯一性。
在他以前，没有人提出过这种问题。通常认为是柯西提出的三种主要方法，即柯西—利普希茨法，逐渐逼近法和强级数法，实际上以前也散见到用于解的近似计算和估计。柯西的最大贡献就是看到通过计算强级数，可以证明逼近步骤收敛，其极限就是方程的所求解。
其实，对于大多人来说，了解柯西还是从知道柯西不等式开始的，能以柯西命名，可见柯西的数学贡献之大。
柯西不等式：柯西不等式是柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。具体来说柯西不等式的具体表达式为
对于任意的实数a，b，c，d，有下面常见的柯西不等式形式：
(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
等号成立条件：ad=bc。
也可以推广为任意的 ai, bi(i=1,2,3,…,n)，有扩展形式：((a1^2)+(a2^2)+。。。+(an^2))((b1^2)+(b2^2) +。。。(bn^2))≥(a1•b1+a2•b2 +。
。。+an•bn)^2
等号成立条件：a1/b1=a2/b2=…=an/bn（特殊地，当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0， i=1,2,3,…,n)
柯西不等式只是笼统的说法，柯西不等式还有更多的形式，比如，还有向量表示形式，概率论表示形式。
可以参考相关文献。柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们应给予极大的重视。
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